Muestreo estratificado y Media de las medias muestrales

**a) (1.25 puntos) En una población de 2000 hombres y 2500 mujeres se quiere seleccionar una muestra de 135 personas mediante muestreo aleatorio estratificado con afijación proporcional, ¿cuál sería la composición de la muestra?** En primer lugar, identificamos el tamaño de los estratos y el tamaño total de la población ($N$): - Hombres ($N_1$): $2000$ - Mujeres ($N_2$): $2500$ - Tamaño total de la población ($N$): $2000 + 2500 = 4500$ - Tamaño de la muestra deseada ($n$): $135$ 💡 **Tip:** El muestreo estratificado con **afijación proporcional** consiste en que el número de individuos de cada estrato en la muestra sea proporcional al número de individuos de dicho estrato en la población total.

Para hallar el número de individuos de cada estrato ($n_1$ para hombres y $n_2$ para mujeres), aplicamos la proporción: $$\frac{n}{N} = \frac{n_1}{N_1} = \frac{n_2}{N_2}$$ Calculamos la constante de proporcionalidad (o cuota de muestreo): $$k = \frac{n}{N} = \frac{135}{4500} = 0.03$$ Ahora multiplicamos esta constante por el tamaño de cada estrato: - **Hombres:** $n_1 = N_1 \cdot 0.03 = 2000 \cdot 0.03 = 60$ - **Mujeres:** $n_2 = N_2 \cdot 0.03 = 2500 \cdot 0.03 = 75$ Comprobamos que la suma es correcta: $60 + 75 = 135$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La muestra estará compuesta por 60 hombres y 75 mujeres}}$$

**b) (1.25 puntos) Dada la población $\{ 6, 8, 11, a \}$, ¿cuánto debe valer $a$ sabiendo que la media de las medias muestrales de tamaño 3, obtenidas mediante muestreo aleatorio simple, es 10.3?** Una propiedad fundamental de la inferencia estadística es que, independientemente del tipo de muestreo (con o sin reposición), la **media de todas las posibles medias muestrales** (denotada como $\mu_{\bar{x}}$) es siempre igual a la **media de la población** ($\mu$). Por lo tanto, si nos dicen que $\mu_{\bar{x}} = 10.3$, sabemos que: $$\mu = 10.3$$ 💡 **Tip:** No es necesario calcular todas las muestras posibles de tamaño 3. Solo necesitamos igualar la media aritmética de los elementos de la población al valor dado.

Calculamos la media de la población $\{ 6, 8, 11, a \}$ e igualamos a $10.3$: $$\mu = \frac{6 + 8 + 11 + a}{4} = 10.3$$ Sumamos los valores conocidos en el numerador: $$\frac{25 + a}{4} = 10.3$$ Despejamos $a$: $$25 + a = 10.3 \cdot 4$$ $$25 + a = 41.2$$ $$a = 41.2 - 25$$ $$a = 16.2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 16.2}$$