Dimensiones de matrices y resolución de ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Sean $A$, $B$ y $C$ matrices con 2, 3 y 2 filas respectivamente. Sabiendo que el producto de matrices $A \cdot B \cdot C$ es posible y que el resultado es una matriz con 4 columnas, halle las dimensiones de dichas matrices.** Para que un producto de matrices sea posible, el número de columnas de la primera debe coincidir con el número de filas de la segunda. Sean las dimensiones: - $A$ tiene dimensión $2 \times c_A$ (2 filas). - $B$ tiene dimensión $3 \times c_B$ (3 filas). - $C$ tiene dimensión $2 \times c_C$ (2 filas). Para que el producto $A \cdot B$ sea posible, las columnas de $A$ deben ser iguales a las filas de $B$: $$c_A = 3$$ La matriz resultante $A \cdot B$ tendrá las filas de $A$ y las columnas de $B$, es decir, su dimensión será **$2 \times c_B$**. 💡 **Tip:** Recuerda que si $M$ es $m \times n$ y $N$ es $n \times p$, el producto $M \cdot N$ existe y tiene dimensión $m \times p$.

Ahora consideramos el producto $(A \cdot B) \cdot C$. Sabemos que: - $(A \cdot B)$ tiene dimensión $2 \times c_B$. - $C$ tiene dimensión $2 \times c_C$. Para que este producto sea posible, las columnas de $(A \cdot B)$ deben coincidir con las filas de $C$: $$c_B = 2$$ La matriz resultante $(A \cdot B \cdot C)$ tendrá entonces las filas de $(A \cdot B)$ y las columnas de $C$. Su dimensión final será **$2 \times c_C$**.

El enunciado indica que el resultado final del producto $A \cdot B \cdot C$ es una matriz con 4 columnas. Por tanto: $$c_C = 4$$ Recopilando todos los datos obtenidos: - Matriz $A$: $2$ filas y $c_A = 3$ columnas $\to \mathbf{2 \times 3}$ - Matriz $B$: $3$ filas y $c_B = 2$ columnas $\to \mathbf{3 \times 2}$ - Matriz $C$: $2$ filas y $c_C = 4$ columnas $\to \mathbf{2 \times 4}$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A \in \mathcal{M}_{2 \times 3}, \quad B \in \mathcal{M}_{3 \times 2}, \quad C \in \mathcal{M}_{2 \times 4}}$$

**b) (1.5 puntos) Halle la matriz $X$ que verifica $I_2 - 2X = A \cdot (A - B^t)$, siendo $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación: $$I_2 - 2X = A(A - B^t)$$ $$I_2 - A(A - B^t) = 2X$$ $$X = \frac{1}{2} \left( I_2 - A(A - B^t) \right)$$ Donde $I_2$ es la matriz identidad de orden 2: $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. 💡 **Tip:** Al despejar en ecuaciones matriciales, ten cuidado con el orden si multiplicas por una matriz inversa, aunque aquí solo usamos sumas y producto por un escalar (que sí son conmutativos).

Calculamos $B^t$ (intercambiando filas por columnas): $$B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora la resta $(A - B^t)$: $$A - B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 0 & -1 - (-1) \\ 2 - 2 & -1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$

Multiplicamos $A$ por el resultado anterior: $$A(A - B^t) = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1(1) + (-1)(0) & 1(0) + (-1)(-3) \\ 2(1) + (-1)(0) & 2(0) + (-1)(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora el paréntesis completo $I_2 - A(A - B^t)$: $$I_2 - A(A - B^t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, dividimos entre 2 para hallar $X$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -3/2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & -\frac{3}{2} \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$