Estudio de continuidad, derivabilidad y representación gráfica

**a) (1.5 puntos) Estudie la continuidad y derivabilidad de la función.** Primero, analizamos el dominio de la función. La primera rama, $\frac{2}{x}$, no está definida en $x=0$. Como el intervalo de esta rama es $x \le 1$, el punto $x=0$ pertenece al dominio de definición de esa rama pero no al dominio de la función (ya que anula el denominador). Por tanto, el dominio es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} - \{0\}$. - En $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$, la función es continua por ser un cociente de polinomios cuyo denominador no se anula. - En $(1, +\infty)$, la función es continua por ser una función polinómica de segundo grado. 💡 **Tip:** Antes de estudiar la continuidad en los puntos de salto, comprueba siempre si las funciones que forman las ramas tienen restricciones propias (como denominadores que se anulan o raíces negativas). $$\boxed{\text{Punto conflictivo fuera del salto: } x=0}$$

Para que la función sea continua en $x = 1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: 1) Valor de la función: $f(1) = \frac{2}{1} = 2$. 2) Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{2}{x} = 2.$$ 3) Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x^2 - 4x + 5) = 1^2 - 4(1) + 5 = 2.$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 2$, la función es **continua en $x = 1$**. En $x=0$, como vimos, hay una discontinuidad inevitable de salto infinito porque $\lim_{x \to 0} \frac{2}{x} = \infty$. ✅ **Resultado continuidad:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R} - \{0\}}$$

Para estudiar la derivabilidad, calculamos la derivada de cada rama en sus intervalos abiertos: - Para $x < 1$ (y $x \neq 0$), derivamos $f(x) = 2x^{-1}$: $$f'(x) = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}.$$ - Para $x > 1$, derivamos el polinomio: $$f'(x) = 2x - 4.$$ La función derivada queda: $$f'(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x^2} & \text{si } x < 1, x \neq 0 \\ 2x - 4 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. Como en $x=0$ no es continua, automáticamente **no es derivable en $x=0$**.

Estudiamos si las derivadas laterales en $x = 1$ coinciden: 1) Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} \left(-\frac{2}{x^2}\right) = -\frac{2}{1^2} = -2.$$ 2) Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (2x - 4) = 2(1) - 4 = -2.$$ Como $f'(1^-) = f'(1^+) = -2$, la función es **derivable en $x = 1$**. ✅ **Resultado derivabilidad:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} - \{0\}}$$

**b) (1 punto) Represéntela gráficamente.** Para representar la función, analizamos cada rama: **Rama 1: $y = \frac{2}{x}$ para $x \le 1, x \neq 0$** - Es una hipérbola. - Tiene una asíntota vertical en $x = 0$. - Puntos de interés: $f(1) = 2$, $f(-1) = -2$, $f(2)$ no aplica, $f(0.5) = 4$. **Rama 2: $y = x^2 - 4x + 5$ para $x > 1$** - Es una parábola con las ramas hacia arriba ($a > 0$). - Vértice: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$. - Ordenada del vértice: $f(2) = 2^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$. Vértice en $(2, 1)$. - Punto de unión: ya sabemos que pasa por $(1, 2)$. 💡 **Tip:** Al dibujar funciones a trozos, marca claramente el punto de unión y asegúrate de que el dibujo refleje si es suave (derivable) o tiene un pico (no derivable). En este caso, al ser derivable en $x=1$, la transición debe ser suave.

A continuación se muestra la gráfica de la función. Se observa la asíntota vertical en $x=0$ y la unión suave de la hipérbola con la parábola en el punto $(1, 2)$.