Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en camareros

**a) (1.25 puntos) Seleccionado un camarero al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea dueño del local?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $A$: El camarero tiene 35 años o más. - $\bar{A}$: El camarero tiene menos de 35 años. - $D$: El camarero es dueño del local. - $\bar{D}$: El camarero no es dueño del local. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(A) = 0,60 \implies P(\bar{A}) = 1 - 0,60 = 0,40$ - $P(D|A) = 0,70 \implies P(\bar{D}|A) = 1 - 0,70 = 0,30$ - $P(D|\bar{A}) = 0,40 \implies P(\bar{D}|\bar{A}) = 1 - 0,40 = 0,60$ Representamos esto en un **árbol de probabilidad**:

Para calcular $P(\bar{D})$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un camarero puede no ser dueño proviniendo del grupo de 35 años o más, o bien del grupo de menos de 35 años: $$P(\bar{D}) = P(A \cap \bar{D}) + P(\bar{A} \cap \bar{D})$$ $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(\bar{A}) \cdot P(\bar{D}|\bar{A})$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{D}) = (0,60 \cdot 0,30) + (0,40 \cdot 0,60)$$ $$P(\bar{D}) = 0,18 + 0,24 = 0,42$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que terminan en el mismo suceso (en este caso $\bar{D}$) nos da la probabilidad total de dicho suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D}) = 0,42}$$

**b) (1.25 puntos) Elegido al azar un camarero dueño de su local, ¿cuál es la probabilidad de que tenga menos de 35 años?** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabemos que el camarero **es dueño** ($D$) y queremos saber la probabilidad de que pertenezca al grupo de **menos de 35 años** ($\bar{A}$). Es decir, buscamos $P(\bar{A}|D)$. Para ello, primero necesitamos conocer $P(D)$. Podemos calcularlo como el complementario de $P(\bar{D})$ calculado en el apartado anterior: $$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0,42 = 0,58$$ 💡 **Tip:** También podrías haberlo calculado directamente con el Teorema de la Probabilidad Total: $P(D) = 0,6 \cdot 0,7 + 0,4 \cdot 0,4 = 0,42 + 0,16 = 0,58$.

Aplicamos el **Teorema de Bayes** para hallar la probabilidad condicionada solicitada: $$P(\bar{A}|D) = \frac{P(\bar{A} \cap D)}{P(D)}$$ Sabemos que $P(\bar{A} \cap D) = P(\bar{A}) \cdot P(D|\bar{A}) = 0,40 \cdot 0,40 = 0,16$. Sustituimos en la fórmula: $$P(\bar{A}|D) = \frac{0,16}{0,58}$$ Simplificamos la fracción: $$P(\bar{A}|D) = \frac{16}{58} = \frac{8}{29} \approx 0,2759$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre relaciona la probabilidad de una 'causa' dado un 'efecto' observado. En este caso, la causa es la edad y el efecto es ser dueño. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}|D) = \frac{8}{29} \approx 0,2759}$$