Contraste de hipótesis para la media poblacional

**(2.5 puntos) Una máquina de envasado está diseñada para llenar bolsas con 300 g de almendras. Para comprobar si funciona correctamente, se toma una muestra de 100 bolsas y se observa que su peso medio es de 297 g. Suponiendo que la variable “peso” tiene una distribución Normal con varianza 16, y utilizando un contraste bilateral ¿es aceptable, a un nivel de significación de 0.05, que el funcionamiento de la máquina es correcto?** En primer lugar, extraemos los datos del enunciado: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 300$ g. - Tamaño de la muestra: $n = 100$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 297$ g. - Varianza poblacional: $\sigma^2 = 16$. Por tanto, la desviación típica es $\sigma = \sqrt{16} = 4$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.05$. Planteamos el **contraste de hipótesis bilateral** para la media: - Hipótesis nula ($H_0$): El funcionamiento es correcto, es decir, $\mu = 300$. - Hipótesis alternativa ($H_1$): El funcionamiento no es correcto, es decir, $\mu \neq 300$. $$\begin{cases} H_0: \mu = 300 \\ H_1: \mu \neq 300 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un contraste es bilateral cuando la hipótesis alternativa utiliza el signo $\neq$. Esto implica que la región de rechazo se divide en dos colas (extremos) de la distribución.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste bilateral, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que el área central de la normal estándar sea $1 - \alpha = 0.95$. El área en cada cola será $\alpha/2 = 0.05 / 2 = 0.025$. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ que deja por debajo una probabilidad de: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.025 = 0.975.$$ Mirando en la tabla, el valor correspondiente a $0.975$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.96}$$ 💡 **Tip:** El valor $1.96$ es un valor muy común en estadística para el nivel de confianza del $95\%$.

El intervalo de aceptación para la media muestral $\bar{x}$ se calcula con la fórmula: $$I.A. = \left( \mu_0 - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \, \mu_0 + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{4}{\sqrt{100}} = 1.96 \cdot \frac{4}{10} = 1.96 \cdot 0.4 = 0.784.$$ Ahora, construimos el intervalo centrado en $\mu_0 = 300$: $$I.A. = (300 - 0.784, \, 300 + 0.784)$$ $$\boxed{I.A. = (299.216, \, 300.784)}$$ Este intervalo representa los valores de la media muestral que nos llevarían a aceptar que la máquina funciona correctamente.

Comparamos el valor de la media obtenida en nuestra muestra, $\bar{x} = 297$ g, con el intervalo de aceptación calculado: Observamos que: $$297 \notin (299.216, \, 300.784)$$ Como $297$ es menor que $299.216$, el valor cae en la **región de rechazo**. Por lo tanto, a un nivel de significación de $0.05$, **no es aceptable** que el funcionamiento de la máquina sea correcto. Existen evidencias estadísticas suficientes para afirmar que la máquina no está llenando las bolsas con el peso medio de diseño (300 g). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{No es aceptable; el funcionamiento no es correcto.}}$$