Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Halle los valores de $a$ y $b$ para que se verifique $A - B + A \cdot B^t = C$.** Primero, calculamos los elementos necesarios para la igualdad. Empezamos por la matriz traspuesta de $B$: $$B = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $A \cdot B^t$: $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \cdot 1 + 1 \cdot b & a \cdot 0 + 1 \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot b & 0 \cdot 0 + 2 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & 3 \\ 2b & 6 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace fila por columna. La matriz traspuesta se obtiene intercambiando filas por columnas.

Sustituimos las matrices en la expresión $A - B + A \cdot B^t = C$: $$\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a+b & 3 \\ 2b & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$ Operamos los elementos de la izquierda término a término: $$\begin{pmatrix} a - 1 + (a+b) & 1 - b + 3 \\ 0 - 0 + 2b & 2 - 3 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 2a + b - 1 & 4 - b \\ 2b & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, todos sus elementos correspondientes deben serlo.

Igualamos los elementos: 1) $2a + b - 1 = 1 \implies 2a + b = 2$ 2) $4 - b = 3 \implies b = 1$ 3) $2b = 2 \implies b = 1$ 4) $5 = 5$ (se verifica siempre) De la ecuación (2) y (3) obtenemos que **$b = 1$**. Sustituimos este valor en la ecuación (1): $$2a + 1 = 2 \implies 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} = 0.5$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 0.5, \quad b = 1}$$

**b) (0.75 puntos) ¿Existe algún valor de $b$ para el que el producto $B \cdot B^t$ sea igual a la matriz nula?** Calculamos el producto $B \cdot B^t$ de forma general: $$B \cdot B^t = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + b \cdot b & 1 \cdot 0 + b \cdot 3 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot b & 0 \cdot 0 + 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+b^2 & 3b \\ 3b & 9 \end{pmatrix}$$ Para que sea la matriz nula $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, todos sus elementos deben ser cero. Observamos el elemento de la fila 2, columna 2: $$9 \neq 0$$ Como el elemento $a_{22}$ es constante y distinto de cero (vale 9), es imposible que la matriz sea nula para cualquier valor de $b$. 💡 **Tip:** Una matriz es nula si y solo si TODOS sus coeficientes son cero simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } b \text{ para el cual } B \cdot B^t = O}$$

**c) (0.75 puntos) Para $a = 0.5$ y $b = 1$, halle la matriz $X$ que verifica la igualdad $A \cdot X + B = O$.** Primero despejamos $X$ de la ecuación: $$A \cdot X + B = O \implies A \cdot X = -B$$ Si $A$ es invertible, podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda: $$X = A^{-1} \cdot (-B)$$ Con $a = 0.5$, la matriz $A$ es: $$A = \begin{pmatrix} 0.5 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A| = (0.5 \cdot 2) - (1 \cdot 0) = 1 - 0 = 1$$ Como $|A| \neq 0$, existe $A^{-1}$. La calculamos mediante la matriz adjunta: $$A^t = \begin{pmatrix} 0.5 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \implies \text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.

Ahora calculamos $-B$ con $b=1$: $$-B = - \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$ Finalmente, hallamos $X$: $$X = A^{-1} \cdot (-B) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 0.5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2(-1) + (-1)(0) & 2(-1) + (-1)(-3) \\ 0(-1) + 0.5(0) & 0(-1) + 0.5(-3) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -2 & -2+3 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1.5 \end{pmatrix}}$$