Continuidad y derivabilidad en funciones a trozos: Arcos y catedrales

**a) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $f$ en $x = 0$.** Para que $f$ sea continua en $x=0$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** Usamos la primera rama (donde está el $\le 0$): $f(0) = 0^3 - 0^2 + 2 = 2$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 - x^2 + 2) = 2$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (-x^3 - x^2 + 2) = 2$. Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2$, la función es continua en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que una función es continua en un punto si no hay "saltos". Matemáticamente: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Calculamos primero la función derivada de $f$ derivando cada rama por separado: $$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 - 2x & \text{si } -1 \lt x \lt 0 \\ -3x^2 - 2x & \text{si } 0 \lt x \lt 1 \end{cases}$$ Ahora evaluamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 3(0)^2 - 2(0) = 0$. - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = -3(0)^2 - 2(0) = 0$. Como las derivadas laterales existen y son iguales ($f'(0^-) = f'(0^+) = 0$), la función es derivable en $x = 0$. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{f(x) \text{ es continua y derivable en } x = 0}$$ 💡 **Tip:** Para que una función sea derivable, primero debe ser continua. Si es continua, comprobamos que la pendiente al llegar por la izquierda es la misma que al llegar por la derecha.

**b) (1 punto) Estudie la continuidad y la derivabilidad de la función $h$ en $x = 0$.** Repetimos el proceso para la función $h(x)$: 1. **Valor de la función:** $h(0) = -0^2 + 0 + 2 = 2$. 2. **Límite por la izquierda:** $\lim_{x \to 0^-} h(x) = \lim_{x \to 0} (-x^2 + x + 2) = 2$. 3. **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 0^+} h(x) = \lim_{x \to 0} (-x^2 - x + 2) = 2$. Al coincidir todos los valores, $h(x)$ es continua en $x = 0$.

Calculamos la derivada de $h(x)$ en sus ramas: $$h'(x) = \begin{cases} -2x + 1 & \text{si } -1 \lt x \lt 0 \\ -2x - 1 & \text{si } 0 \lt x \lt 1 \end{cases}$$ Evaluamos las derivadas laterales en $x = 0$: - Derivada por la izquierda: $h'(0^-) = -2(0) + 1 = 1$. - Derivada por la derecha: $h'(0^+) = -2(0) - 1 = -1$. En este caso, $h'(0^-) \neq h'(0^+)$. Las pendientes no coinciden, lo que significa que hay un "punto anguloso" o pico en $x=0$. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{h(x) \text{ es continua pero NO es derivable en } x = 0}$$ 💡 **Tip:** Cuando las derivadas laterales son distintas, la gráfica de la función cambia bruscamente de dirección en ese punto, formando un pico.

**c) (0.5 puntos) Si las dos funciones anteriores representan el perfil de un arco puntiagudo de una catedral y el de un arco redondeado (sin picos) de un túnel, indique, razonadamente, la que corresponde a la catedral y la que corresponde al túnel.** Basándonos en los estudios de derivabilidad: 1. **Arco del túnel:** Un túnel suele ser redondeado y suave en su parte superior. Esto corresponde a una función **derivable** en el punto de unión de sus ramas (no tiene picos). Por tanto, el túnel corresponde a la función **$f(x)$**. 2. **Arco de la catedral:** Un arco puntiagudo (u ojival) presenta un pico en su clave (el centro). Esto corresponde a una función **continua pero no derivable** en ese punto. Por tanto, la catedral corresponde a la función **$h(x)$**. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{f(x) \to \text{Túnel (redondeado)}, \quad h(x) \to \text{Catedral (puntiagudo)}}$$