Probabilidad total y Teorema de Bayes: Servidores de Internet

**a) (1.25 puntos) ¿cuál es la probabilidad de que los ordenadores se queden bloqueados?** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $S_1$: La empresa utiliza el servidor 1. - $S_2$: La empresa utiliza el servidor 2. - $B$: Los ordenadores se bloquean. - $\bar{B}$: Los ordenadores NO se bloquean. Extraemos los datos del enunciado en términos de probabilidad: - $P(S_1) = 45\% = 0.45$ - $P(S_2) = 1 - 0.45 = 0.55$ (ya que es el resto) - $P(B|S_1) = 5\% = 0.05$ (probabilidad de bloqueo si se usa $S_1$) - $P(B|S_2) = 8\% = 0.08$ (probabilidad de bloqueo si se usa $S_2$) Representamos la situación mediante un **diagrama de árbol** para visualizar todos los caminos posibles:

Para calcular la probabilidad de que los ordenadores se bloqueen, $P(B)$, utilizaremos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir por dos vías: que se use el servidor 1 y se bloquee, o que se use el servidor 2 y se bloquee. Matemáticamente: $$P(B) = P(S_1) \cdot P(B|S_1) + P(S_2) \cdot P(B|S_2)$$ Sustituimos los valores numéricos: $$P(B) = 0.45 \cdot 0.05 + 0.55 \cdot 0.08$$ $$P(B) = 0.0225 + 0.044$$ $$P(B) = 0.0665$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que llegan al suceso deseado (bloqueo) nos da la probabilidad total. ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{P(B) = 0.0665}$$ (Esto significa que hay un $6.65\%$ de probabilidad de que los ordenadores se bloqueen).

**b) (1.25 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa esté utilizando el servidor $S_1$, sabiendo que los ordenadores se han quedado bloqueados?** Se nos pide calcular una probabilidad condicionada inversa: conocemos el efecto (bloqueo) y queremos saber la probabilidad de una de las causas (servidor $S_1$). Para ello usamos el **Teorema de Bayes**. La fórmula es: $$P(S_1|B) = \frac{P(S_1 \cap B)}{P(B)} = \frac{P(S_1) \cdot P(B|S_1)}{P(B)}$$ Ya tenemos los datos necesarios del apartado anterior: - Numerador (probabilidad de usar $S_1$ y que se bloquee): $0.45 \cdot 0.05 = 0.0225$ - Denominador (probabilidad total de bloqueo): $0.0665$ Realizamos la división: $$P(S_1|B) = \frac{0.0225}{0.0665}$$ $$P(S_1|B) \approx 0.3383$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes siempre se puede ver como "la rama que me interesa dividida por la suma de todas las ramas que llevan al mismo resultado final". ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{P(S_1|B) \approx 0.3383}$$ (Aproximadamente un $33.83\%$ de probabilidad).