Intervalo de confianza para la proporción de adultos

**a) (1.5 puntos) Calcule un intervalo de confianza, al 98%, para la proporción de adultos de esa población.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 350$ - Número de adultos en la muestra: $x = 50$ Calculamos la proporción muestral de adultos ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{50}{350} = \frac{1}{7} \approx 0.1429$$ Calculamos también el complementario (proporción de no adultos, $\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \approx 0.8571$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística para proporciones, siempre trabajamos con la proporción de éxito $\hat{p}$ y su complementario $\hat{q} = 1 - \hat{p}$.

Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos que: $$1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.01 = 0.99$$ Mirando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$: - Para una probabilidad de $0.99$, el valor de $z$ se encuentra entre $2.32$ y $2.33$. - Habitualmente se toma el valor más cercano o la media: $z_{\alpha/2} = 2.33$ (o $2.326$ si se busca mayor precisión). 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el punto en la recta real que deja un área de $\alpha/2$ a su derecha en la campana de Gauss. $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$

La fórmula del error para la proporción es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.1429 \cdot 0.8571}{350}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.1225}{350}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{0.00035} \approx 2.33 \cdot 0.0187$$ $$E \approx 0.0436$$ 💡 **Tip:** El error marca la amplitud del intervalo. A mayor confianza deseada, mayor será el valor crítico y, por tanto, el error.

El intervalo de confianza se define como: $$I.C. = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$$ Calculamos los extremos: - Límite inferior: $0.1429 - 0.0436 = 0.0993$ - Límite superior: $0.1429 + 0.0436 = 0.1865$ Por tanto, el intervalo de confianza al $98\%$ es: $$\boxed{I.C. = (0.0993, 0.1865)}$$

**b) (1 punto) ¿Puede admitirse, a ese nivel de confianza, que la proporción de adultos de esa población es $2/15$?** Para comprobar si se puede admitir que la proporción poblacional $p$ es $2/15$, debemos verificar si dicho valor pertenece al intervalo de confianza calculado en el apartado anterior. Calculamos el valor decimal de la proporción propuesta: $$p_0 = \frac{2}{15} \approx 0.1333$$ Comprobamos si $0.1333$ está dentro del intervalo $(0.0993, 0.1865)$: $$0.0993 \lt 0.1333 \lt 0.1865$$ Como el valor **pertenece al intervalo**, podemos admitir con un nivel de confianza del $98\%$ que la proporción de adultos es $2/15$. 💡 **Tip:** Si un valor propuesto cae dentro del intervalo de confianza, se considera una hipótesis plausible o aceptable para ese nivel de significación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, puede admitirse, ya que } 2/15 \approx 0.1333 \in (0.0993, 0.1865)}$$