Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (2 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices:** Para representar la región factible, primero convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas que delimitan el recinto: 1. **Recta $r_1$:** $x = 2$. Es una recta vertical que pasa por el valor $2$ del eje $X$. 2. **Recta $r_2$:** $y = -4x + 8$. Calculamos un par de puntos para representarla: - Si $x = 2 \implies y = -4(2) + 8 = 0 \implies (2, 0)$ - Si $x = 1 \implies y = -4(1) + 8 = 4 \implies (1, 4)$ 3. **Recta $r_3$:** $3y - 4x - 16 = 0$. Despejamos $y$ para facilitar el cálculo: $y = \frac{4x + 16}{3}$. - Si $x = -4 \implies y = \frac{4(-4) + 16}{3} = 0 \implies (-4, 0)$ - Si $x = 2 \implies y = \frac{4(2) + 16}{3} = \frac{24}{3} = 8 \implies (2, 8)$ 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir en una inecuación, toma un punto de prueba como el $(0, 0)$ (si no pasa por la recta) y comprueba si cumple la desigualdad.

Los vértices de la región se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las intersecciones de las rectas: * **Vértice A (Intersección de $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} x = 2 \\ y = -4x + 8 \end{cases} \implies y = -4(2) + 8 = 0 \implies \mathbf{A(2, 0)}$$ * **Vértice B (Intersección de $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} x = 2 \\ 3y - 4x - 16 = 0 \end{cases} \implies 3y - 4(2) - 16 = 0 \implies 3y = 24 \implies \mathbf{B(2, 8)}$$ * **Vértice C (Intersección de $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y = -4x + 8 \\ 3y - 4x - 16 = 0 \end{cases}$$ Sustituimos $y$ de la primera en la segunda: $$3(-4x + 8) - 4x - 16 = 0 \implies -12x + 24 - 4x - 16 = 0$$ $$-16x + 8 = 0 \implies 16x = 8 \implies x = \frac{8}{16} = 0.5$$ Calculamos $y$: $y = -4(0.5) + 8 = -2 + 8 = 6 \implies \mathbf{C(0.5, 6)}$ ✅ **Vértices calculados:** $$\boxed{A(2, 0), \quad B(2, 8), \quad C(0.5, 6)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 3x - y$, y los puntos donde se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x, y) = 3x - y$ en cada uno de los vértices hallados anteriormente: 1. Para **$A(2, 0)$**: $$F(2, 0) = 3(2) - 0 = 6$$ 2. Para **$B(2, 8)$**: $$F(2, 8) = 3(2) - 8 = 6 - 8 = -2$$ 3. Para **$C(0.5, 6)$**: $$F(0.5, 6) = 3(0.5) - 6 = 1.5 - 6 = -4.5$$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **$6$** y se alcanza en el punto **$(2, 0)$**. - El valor mínimo es **$-4.5$** y se alcanza en el punto **$(0.5, 6)$**. 💡 **Tip:** El teorema fundamental de la programación lineal nos asegura que el máximo y el mínimo de una función lineal sobre un recinto convexo (como este) siempre se encuentran en uno de sus vértices o en un lado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 6 \text{ en } (2, 0); \quad \text{Mínimo: } -4.5 \text{ en } (0.5, 6)}$$