Optimización de beneficios de una empresa

**a) (0.75 puntos) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa.** Para que la función beneficio sea no negativa, debemos resolver la inecuación $f(x) \ge 0$, es decir: $$-x^2 + 11x - 10 \ge 0$$ En primer lugar, buscamos los puntos de corte con el eje $X$ resolviendo la ecuación de segundo grado $-x^2 + 11x - 10 = 0$: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4(-1)(-10)}}{2(-1)}$$ $$x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 - 40}}{-2} = \frac{-11 \pm \sqrt{81}}{-2} = \frac{-11 \pm 9}{-2}$$ Obtenemos dos soluciones: $x_1 = \frac{-11 + 9}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$ $x_2 = \frac{-11 - 9}{-2} = \frac{-20}{-2} = 10$ Como la función $f(x)$ es una parábola con las ramas hacia abajo (porque el coeficiente de $x^2$ es negativo, $a = -1 \lt 0$), los valores para los cuales $f(x)$ es positiva o cero se encuentran entre las raíces. 💡 **Tip:** Para resolver inecuaciones de segundo grado $ax^2 + bx + c \ge 0$, si $a \lt 0$, la solución es el intervalo cerrado entre las raíces si estas existen. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in [1, 10]}$$ La inversión debe estar comprendida entre **1 y 10 millones de euros**.

**b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste?** Para hallar el máximo de una función, calculamos su primera derivada y la igualamos a cero: $$f'(x) = -2x + 11$$ $$-2x + 11 = 0 \implies 2x = 11 \implies x = \frac{11}{2} = 5.5$$ Para confirmar que es un máximo, utilizamos la segunda derivada: $$f''(x) = -2$$ Como $f''(5.5) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $x = 5.5$ existe un **máximo relativo**. Ahora calculamos el valor del beneficio para esa inversión sustituyendo $x = 5.5$ en $f(x)$: $$f(5.5) = -(5.5)^2 + 11(5.5) - 10$$ $$f(5.5) = -30.25 + 60.5 - 10 = 20.25$$ 💡 **Tip:** El vértice de una parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$ se encuentra en $x = -b/(2a)$. En este caso: $x = -11/(2 \cdot (-1)) = 5.5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inversión: } 5.5 \text{ millones de euros} \quad \text{Beneficio: } 20.25 \text{ millones de euros}}$$

**c) (0.75 puntos) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?** Sabemos del apartado a) que el beneficio es no negativo cuando $x \in [1, 10]$. Para que la función sea creciente, su primera derivada debe ser positiva ($f'(x) \gt 0$): $$-2x + 11 \gt 0 \implies 11 \gt 2x \implies x \lt 5.5$$ Combinando ambas condiciones: 1. El beneficio debe ser no negativo: $1 \le x \le 10$ 2. El beneficio debe ser creciente: $x \lt 5.5$ Realizamos una tabla de signos para la derivada en el intervalo de interés: $$\begin{array}{c|ccc} x & [1, 5.5) & 5.5 & (5.5, 10]\\ \hline f'(x) & + & 0 & -\\ \hline \text{Monotonía} & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} \end{array}$$ Por tanto, la inversión debe estar comprendida entre 1 y 5.5 millones de euros. 💡 **Tip:** Siempre que pida crecimiento en un intervalo restringido, debemos realizar la intersección de los intervalos resultantes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x \in [1, 5.5)}$$ La inversión ha de estar comprendida entre **1 y 5.5 millones de euros**.