Probabilidad de sucesos: Fútbol y Atletismo

Para resolver el problema, lo primero es definir los sucesos y traducir los porcentajes del enunciado a probabilidades: * $F$: El alumno juega al fútbol. * $A$: El alumno practica atletismo. Datos conocidos: * $P(F) = 45\% = 0.45$ * $P(A) = 60\% = 0.60$ * $P(F|A) = 50\% = 0.50$ (Probabilidad de que juegue al fútbol sabiendo que ya practica atletismo). 💡 **Tip:** Recuerda que las probabilidades siempre se expresan en una escala de $0$ a $1$, donde $100\%$ corresponde a $1$.

**a) (0.75 puntos) ¿Qué porcentaje de alumnos practican ambos deportes?** Practicar ambos deportes corresponde a la intersección de los sucesos, es decir, $P(F \cap A)$. Utilizamos la definición de **probabilidad condicionada**: $$P(F|A) = \frac{P(F \cap A)}{P(A)}$$ Despejamos la intersección: $$P(F \cap A) = P(A) \cdot P(F|A)$$ $$P(F \cap A) = 0.60 \cdot 0.50 = 0.30$$ Para dar la respuesta en porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0.30 \cdot 100 = 30\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{30\% \text{ de los alumnos practican ambos deportes}}$$

Antes de continuar con los demás apartados, es muy útil organizar toda la información en una **tabla de contingencia**. Esto facilita el cálculo de las probabilidades de los sucesos contrarios. Sabemos que: * $P(F \cap A) = 0.30$ * $P(F \cap \bar{A}) = P(F) - P(F \cap A) = 0.45 - 0.30 = 0.15$ * $P(\bar{F} \cap A) = P(A) - P(F \cap A) = 0.60 - 0.30 = 0.30$ * $P(\bar{F} \cap \bar{A}) = 1 - P(F \cup A)$ $$\begin{array}{c|cc|c} & A & \bar{A} & \text{Total} \\\hline F & 0.30 & 0.15 & 0.45 \\ \bar{F} & 0.30 & 0.25 & 0.55 \\\hline \text{Total} & 0.60 & 0.40 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Los valores de las celdas interiores deben sumar lo mismo que los totales de las filas y columnas.

**b) (0.75 puntos) Si se elige al azar un alumno de ese centro, ¿cuál es la probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes?** Buscamos la probabilidad de que no juegue al fútbol Y no practique atletismo: $P(\bar{F} \cap \bar{A})$. **Método 1: Usando la tabla de contingencia** Mirando directamente en la tabla realizada en el paso anterior, vemos que la intersección de no fútbol y no atletismo es: $$P(\bar{F} \cap \bar{A}) = 0.25$$ **Método 2: Usando las Leyes de De Morgan** Sabemos que $P(\bar{F} \cap \bar{A}) = P(\overline{F \cup A}) = 1 - P(F \cup A)$. Primero calculamos la unión (alumnos que practican al menos uno): $$P(F \cup A) = P(F) + P(A) - P(F \cap A)$$ $$P(F \cup A) = 0.45 + 0.60 - 0.30 = 0.75$$ Ahora calculamos el contrario: $$P(\bar{F} \cap \bar{A}) = 1 - 0.75 = 0.25$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{ninguno}) = 0.25}$$

**c) (0.5 puntos) Si se elige al azar un alumno que juega al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que no practique atletismo?** Se trata de una probabilidad condicionada: queremos saber la probabilidad de $\bar{A}$ sabiendo que el alumno está en el grupo de los que juegan al fútbol ($F$). Calculamos $P(\bar{A}|F)$: $$P(\bar{A}|F) = \frac{P(\bar{A} \cap F)}{P(F)}$$ Utilizamos los datos de nuestra tabla o los calculados anteriormente: * $P(\bar{A} \cap F) = 0.15$ * $P(F) = 0.45$ Sustituimos: $$P(\bar{A}|F) = \frac{0.15}{0.45} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ 💡 **Tip:** Siempre que el enunciado diga "Si se elige un alumno que..." o "Sabiendo que...", estamos ante una probabilidad condicionada. El suceso que conocemos va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A}|F) = \dfrac{1}{3} \approx 0.3333}$$