Programación lineal: Representación de recinto y optimización

**a) (1 punto) Represéntelo gráficamente.** Para representar el recinto, transformamos cada inecuación en una igualdad para dibujar las rectas que delimitan la región: 1. **Recta $r_1$:** $3x + y = 4$. Si $x=0, y=4$; si $y=0, x=4/3 \approx 1.33$. Puntos $(0,4)$ y $(1.33, 0)$. 2. **Recta $r_2$:** $x + y = 6$. Si $x=0, y=6$; si $y=0, x=6$. Puntos $(0,6)$ y $(6,0)$. 3. **Rectas $r_3, r_4$:** $y = 0$ (eje OX) y $y = 5$ (recta horizontal). Determinamos el semiplano de cada inecuación probando con el punto $(0,0)$: - $3(0) + 0 \ge 4 \implies 0 \ge 4$ (Falso). El semiplano es el que **no contiene al origen**. - $0 + 0 \le 6 \implies 0 \le 6$ (Verdadero). El semiplano es el que **contiene al origen**. - $0 \le y \le 5$. La región está comprendida entre el eje de abscisas y la recta horizontal $y=5$. 💡 **Tip:** Para representar una recta, basta con dar dos valores a la $x$ y obtener sus correspondientes $y$. Elegir el $(0,0)$ como punto de prueba es el método más rápido para saber qué lado de la recta sombrear. El recinto es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.

**b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan en cada punto: - **Vértice A** (Corte de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} 3x + y = 4 \\ y = 0 \end{cases} \implies 3x + 0 = 4 \implies x = \frac{4}{3} \approx 1.33 \implies \mathbf{A(4/3, 0)}$$ - **Vértice B** (Corte de $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} x + y = 6 \\ y = 0 \end{cases} \implies x + 0 = 6 \implies x = 6 \implies \mathbf{B(6, 0)}$$ - **Vértice C** (Corte de $r_2$ y $r_4$): $$\begin{cases} x + y = 6 \\ y = 5 \end{cases} \implies x + 5 = 6 \implies x = 1 \implies \mathbf{C(1, 5)}$$ - **Vértice D** (Corte de $r_1$ y $r_4$): $$\begin{cases} 3x + y = 4 \\ y = 5 \end{cases} \implies 3x + 5 = 4 \implies 3x = -1 \implies x = -1/3 \approx -0.33 \implies \mathbf{D(-1/3, 5)}$$ 💡 **Tip:** Un sistema de ecuaciones lineales $2 \times 2$ representa el punto de intersección de dos rectas. Puedes usar el método de sustitución o igualación. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(4/3, 0), \quad B(6, 0), \quad C(1, 5), \quad D(-1/3, 5)}$$

**c) (0.5 puntos) En el recinto anterior, halle los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 5x + 3y$. ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?** Evaluamos la función $F(x, y) = 5x + 3y$ en cada uno de los vértices calculados anteriormente: 1. En **$A(4/3, 0)$**: $$F(4/3, 0) = 5 \cdot \left(\frac{4}{3}\right) + 3 \cdot 0 = \frac{20}{3} \approx 6.67$$ 2. En **$B(6, 0)$**: $$F(6, 0) = 5 \cdot 6 + 3 \cdot 0 = 30 + 0 = 30$$ 3. En **$C(1, 5)$**: $$F(1, 5) = 5 \cdot 1 + 3 \cdot 5 = 5 + 15 = 20$$ 4. En **$D(-1/3, 5)$**: $$F(-1/3, 5) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 3 \cdot 5 = -\frac{5}{3} + 15 = \frac{-5 + 45}{3} = \frac{40}{3} \approx 13.33$$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que si existe una solución óptima, esta se encontrará en uno de los vértices del recinto convexo. Comparando los resultados: - El valor máximo es **30** y se alcanza en el punto **$B(6, 0)$**. - El valor mínimo es **$20/3 \approx 6.67$** y se alcanza en el punto **$A(4/3, 0)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: 30 en } (6,0); \quad \text{Mínimo: } \frac{20}{3} \text{ en } (4/3, 0)}$$