Optimización y estudio de una función cuadrática: Pacientes en un consultorio

**a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo?** La función que describe el número de pacientes es $N(t) = 4t - t^2$. Para encontrar el máximo, debemos calcular la primera derivada $N'(t)$ e igualarla a cero. Derivamos la función polinómica: $$N'(t) = 4 - 2t$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$4 - 2t = 0 \implies 2t = 4 \implies t = 2$$ 💡 **Tip:** El máximo de una parábola $f(x) = ax^2 + bx + c$ se encuentra en su vértice, cuya abscisa es $t = -b/(2a)$. En este caso, $t = -4/(2 \cdot (-1)) = 2$.

Para confirmar que en $t = 2$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada a su izquierda y derecha, o utilizamos la segunda derivada: **Estudio del signo de $N'(t)$:** $$ \begin{array}{c|ccc} t & (0, 2) & 2 & (2, 4) \\ \hline N'(t) = 4 - 2t & + & 0 & - \\ N(t) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array} $$ También con la segunda derivada: $$N''(t) = -2$$ Como $N''(2) = -2 \lt 0$, confirmamos que hay un **máximo relativo** en $t = 2$. Calculamos el número de pacientes sustituyendo en la función original: $$N(2) = 4(2) - (2)^2 = 8 - 4 = 4$$ ✅ **Resultado (Número máximo):** $$\boxed{\text{El número máximo de pacientes es 4}}$$

El enunciado indica que el consultorio abre a las 5 de la tarde (17:00h). El valor $t = 2$ representa el tiempo en horas transcurrido desde la apertura. $$\text{Hora del máximo} = 17:00 + 2 \text{ horas} = 19:00$$ ✅ **Resultado (Hora):** $$\boxed{\text{El número de pacientes es máximo a las 7 de la tarde (19:00)}}$$

**b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará?** El consultorio cierra cuando el número de pacientes es cero, es decir, cuando $N(t) = 0$. Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$4t - t^2 = 0$$ Factorizamos para simplificar: $$t(4 - t) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $t = 0$: Corresponde al momento de apertura (5 de la tarde). 2. $4 - t = 0 \implies t = 4$: Corresponde al momento de cierre. 💡 **Tip:** Para resolver ecuaciones del tipo $ax^2 + bx = 0$, siempre es más rápido sacar factor común $x$ que aplicar la fórmula general.

Si el consultorio cierra a las $t = 4$ horas de haber abierto: $$\text{Hora de cierre} = 17:00 + 4 \text{ horas} = 21:00$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El consultorio cerrará a las 9 de la noche (21:00)}}

**c) (0.5 puntos) Represente gráficamente $N(t) = 4t - t^2$, con $N(t) \ge 0$.** Para representar la función $N(t)$, que es una parábola cóncava (hacia abajo) por tener el coeficiente de $t^2$ negativo ($a = -1$), utilizaremos los puntos clave obtenidos: - **Vértice (Máximo):** $(2, 4)$ - **Puntos de corte con el eje $t$ ($N(t)=0$):** $(0, 0)$ y $(4, 0)$ - **Dominio de interés:** Dado que $N(t) \ge 0$, la gráfica se limita al intervalo $t \in [0, 4]$. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, el dominio suele estar restringido por la lógica del problema (el tiempo y el número de personas no pueden ser negativos).