Contraste de hipótesis para la proporción de mortalidad

Para resolver este problema, debemos realizar un contraste de hipótesis sobre la proporción poblacional $p$. El enunciado nos indica la hipótesis nula a contrastar y el objetivo del fármaco es reducir la mortalidad. - **Hipótesis nula ($H_0$):** Representa el estado actual o lo que queremos refutar. En este caso, que la mortalidad es de al menos el 40%. $$H_0: p \ge 0.4$$ - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** Es lo que queremos demostrar (la eficacia del fármaco al reducir la mortalidad). $$H_1: p \lt 0.4$$ Este es un **contraste unilateral de cola izquierda**, ya que la eficacia del fármaco se asocia a valores de la proporción significativamente menores que el 40%. 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, $H_0$ suele contener la igualdad ($\le, \ge, =$) y $H_1$ refleja la sospecha o mejora que queremos probar ($\lt, \gt, eq$).

A partir del enunciado, extraemos los datos de la muestra y el nivel de exigencia del test: - Tamaño de la muestra: $n = 50$ - Número de muertes observadas: $x = 14$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{14}{50} = 0.28$ - Nivel de significación: $\alpha = 0.015$ Debemos comprobar si el tamaño de la muestra es suficiente para aproximar la distribución de la proporción por una normal. Verificamos las condiciones: $n \cdot p_0 = 50 \cdot 0.4 = 20 \gt 5$ $n \cdot (1 - p_0) = 50 \cdot 0.6 = 30 \gt 5$ Como ambas son mayores que 5, podemos utilizar la aproximación normal.

El estadístico de contraste para una proporción sigue una distribución normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ bajo la suposición de que $H_0$ es cierta ($p = p_0 = 0.4$): $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.28 - 0.4}{\sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{50}}} = \frac{-0.12}{\sqrt{\frac{0.24}{50}}} = \frac{-0.12}{\sqrt{0.0048}}$$ Calculamos la raíz del denominador: $$\sqrt{0.0048} \approx 0.06928$$ Obtenemos el valor del estadístico: $$Z_{calc} = \frac{-0.12}{0.06928} \approx -1.732$$ 💡 **Tip:** El estadístico de contraste mide cuántas desviaciones típicas se aleja nuestro resultado muestral ($0.28$) del valor teórico de la hipótesis ($0.40$).

Para un nivel de significación $\alpha = 0.015$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.015$$ Esto equivale a buscar en la tabla de la normal el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0.015 = 0.985$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0.985$$ Buscando en la tabla de la $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.985$, el valor de $z$ es exactamente $2.17$. Por lo tanto, nuestro valor crítico es: $$z_c = -2.17$$ La **región de rechazo** está formada por los valores de $Z$ tales que $Z \lt -2.17$.

Comparamos el estadístico calculado ($Z_{calc} = -1.732$) con el valor crítico ($z_c = -2.17$): Dado que $-1.732 \gt -2.17$, el estadístico **no cae en la región de rechazo** (está a la derecha del valor crítico). Por lo tanto, no hay evidencia estadística suficiente para rechazar $H_0$. **Conclusión:** Con un nivel de significación de $0.015$, no se puede afirmar que el fármaco reduzca la mortalidad. No se acepta la eficacia del fármaco. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede rechazar } H_0. \text{ No hay evidencia suficiente para aceptar la eficacia del fármaco.}}$$