Álgebra 2010 Andalucia
Optimización de ingresos mediante programación lineal
EJERCICIO 1
(2.5 puntos) Un comerciante quiere dar salida a 400 kg de avellanas, 300 kg de nueces y 400 kg de almendras. Para ello hace dos tipos de lotes: los de tipo A contienen 2 kg de avellanas, 2 kg de nueces y 1 kg de almendras; y los de tipo B contienen 3 kg de avellanas, 1 kg de nueces y 4 kg de almendras. El precio de venta de cada lote es de 20 euros para los del tipo A y de 40 euros para los del tipo B. ¿Cuántos lotes de cada tipo debe vender para obtener el máximo ingreso y a cuánto asciende éste?
Paso 1
Definición de variables y función objetivo
Para resolver este problema de programación lineal, primero identificamos las incógnitas y lo que queremos maximizar.
Sean las variables:
- $x$: número de lotes de **tipo A**.
- $y$: número de lotes de **tipo B**.
El objetivo es maximizar el ingreso total. Sabemos que cada lote de tipo A se vende por $20€$ y cada lote de tipo B por $40€$. Por tanto, la **función objetivo** será:
$$f(x, y) = 20x + 40y$$
💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, las variables suelen representar las cantidades de productos que debemos decidir fabricar o vender.
Paso 2
Establecer las restricciones del problema
El comerciante tiene cantidades limitadas de cada fruto seco. Traducimos estas limitaciones a inecuaciones:
1. **Avellanas:** Cada lote A gasta $2$ kg y cada lote B gasta $3$ kg. Total disponible: $400$ kg.
$$2x + 3y \le 400$$
2. **Nueces:** Cada lote A gasta $2$ kg y cada lote B gasta $1$ kg. Total disponible: $300$ kg.
$$2x + y \le 300$$
3. **Almendras:** Cada lote A gasta $1$ kg y cada lote B gasta $4$ kg. Total disponible: $400$ kg.
$$x + 4y \le 400$$
4. **No negatividad:** No se pueden vender cantidades negativas.
$$x \ge 0, \quad y \ge 0$$
Podemos resumir la información en esta tabla:
$$\begin{array}{|l|c|c|c|}
\hline
\text{Fruto seco} & \text{Lote A } (x) & \text{Lote B } (y) & \text{Disponible} \\
\hline
\text{Avellanas} & 2 & 3 & 400 \\
\text{Nueces} & 2 & 1 & 300 \\
\text{Almendras} & 1 & 4 & 400 \\
\hline
\text{Precio (Ingreso)} & 20€ & 40€ & \text{Maximizar} \\
\hline
\end{array}$$
Paso 3
Representación gráfica de la región factible
Representamos las rectas asociadas a las inecuaciones para encontrar el recinto de soluciones posibles (región factible):
- $r_1: 2x + 3y = 400$ (Pasa por $(200, 0)$ y $(0, 133.3)$)
- $r_2: 2x + y = 300$ (Pasa por $(150, 0)$ y $(0, 300)$)
- $r_3: x + 4y = 400$ (Pasa por $(400, 0)$ y $(0, 100)$)
La región factible es el polígono sombreado que cumple todas las condiciones simultáneamente.
Paso 4
Cálculo de los vértices de la región factible
Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región:
- **A** (Origen): $(0, 0)$.
- **B** (Eje $Y$ con $r_3$): Si $x=0$ en $x + 4y = 400 \implies 4y = 400 \implies \mathbf{B(0, 100)}$.
- **C** (Intersección $r_1$ y $r_3$):
$$\begin{cases} 2x + 3y = 400 \\ x + 4y = 400 \end{cases}$$
De la segunda: $x = 400 - 4y$. Sustituyendo en la primera:
$2(400 - 4y) + 3y = 400 \implies 800 - 8y + 3y = 400 \implies 400 = 5y \implies y = 80$.
$x = 400 - 4(80) = 80$. Por tanto, $\mathbf{C(80, 80)}$.
- **D** (Intersección $r_1$ y $r_2$):
$$\begin{cases} 2x + 3y = 400 \\ 2x + y = 300 \end{cases}$$
Restando las ecuaciones: $2y = 100 \implies y = 50$.
$2x + 50 = 300 \implies 2x = 250 \implies x = 125$. Por tanto, $\mathbf{D(125, 50)}$.
- **E** (Eje $X$ con $r_2$): Si $y=0$ en $2x + y = 300 \implies 2x = 300 \implies \mathbf{E(150, 0)}$.
Paso 5
Evaluación de la función objetivo y resultado final
Evaluamos $f(x, y) = 20x + 40y$ en cada vértice para encontrar el máximo ingreso:
- $f(0, 0) = 20(0) + 40(0) = 0€$
- $f(0, 100) = 20(0) + 40(100) = 4000€$
- **$f(80, 80) = 20(80) + 40(80) = 1600 + 3200 = 4800€$**
- $f(125, 50) = 20(125) + 40(50) = 2500 + 2000 = 4500€$
- $f(150, 0) = 20(150) + 40(0) = 3000€$
El valor máximo se alcanza en el punto $(80, 80)$.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Debe vender 80 lotes de tipo A y 80 lotes de tipo B para un ingreso máximo de 4800 euros.}}$$