Estudio de continuidad, derivabilidad y recta tangente

**a) (1.75 puntos) Estudie su continuidad y derivabilidad.** Primero, analizamos el dominio de la función. Al ser una función definida a trozos compuesta por funciones polinómicas y una función racional (cuyo denominador se anula en $x=0$, pero esta rama solo aplica para $x > 4$), el dominio es $\mathbb{R}$. Estudiamos la continuidad en los puntos donde la función cambia de rama: $x=0$ y $x=4$. **Continuidad en $x=0$:** 1. $f(0) = \frac{0^2}{2} = 0$ 2. $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{2} = 0$ 3. $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (x^3 - 4x^2) = 0^3 - 4(0)^2 = 0$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$, la función es **continua en $x=0$**. **Continuidad en $x=4$:** 1. $f(4) = 4^3 - 4(4^2) = 64 - 64 = 0$ 2. $\lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4} (x^3 - 4x^2) = 0$ 3. $\lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4} (1 - \frac{4}{x}) = 1 - \frac{4}{4} = 0$ Como $f(4) = \lim_{x \to 4^-} f(x) = \lim_{x \to 4^+} f(x)$, la función es **continua en $x=4$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si el valor de la función coincide con sus límites laterales: $f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$. $$\boxed{\text{La función es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: - Si $x < 0 \implies f'(x) = x$ - Si $0 < x < 4 \implies f'(x) = 3x^2 - 8x$ - Si $x > 4 \implies f'(x) = \frac{4}{x^2}$ Por tanto, la función derivada (a falta de estudiar los puntos críticos) es: $$f'(x)=\begin{cases} x & \text{si } x < 0,\\ 3x^2 - 8x & \text{si } 0 < x < 4,\\ \frac{4}{x^2} & \text{si } x > 4. \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto.

Ahora estudiamos la existencia de las derivadas laterales en los puntos de cambio de rama. **Derivabilidad en $x=0$:** - $f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} x = 0$ - $f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (3x^2 - 8x) = 0$ Como $f'(0^-) = f'(0^+)$, la función es **derivable en $x=0$** y $f'(0) = 0$. **Derivabilidad en $x=4$:** - $f'(4^-) = \lim_{x \to 4^-} (3x^2 - 8x) = 3(4)^2 - 8(4) = 48 - 32 = 16$ - $f'(4^+) = \lim_{x \to 4^+} \frac{4}{x^2} = \frac{4}{4^2} = \frac{1}{4} = 0.25$ Como $f'(4^-) \neq f'(4^+)$, la función **no es derivable en $x=4$** (existe un punto anguloso). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R}. \text{ Derivable en } \mathbb{R} \setminus \{4\}}$$

**b) (0.75 puntos) Determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 2$.** Para hallar la recta tangente en $x=2$, necesitamos el punto de tangencia $(2, f(2))$ y la pendiente $m = f'(2)$. Como $0 < 2 \le 4$, usamos la segunda rama de la función: $$f(2) = 2^3 - 4(2^2) = 8 - 16 = -8$$ El punto de tangencia es **$(2, -8)$**. Calculamos la pendiente usando la derivada de la segunda rama: $$f'(x) = 3x^2 - 8x \implies f'(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4$$ La ecuación de la recta tangente viene dada por: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. $$y - (-8) = -4(x - 2)$$ $$y + 8 = -4x + 8$$ $$y = -4x$$ 💡 **Tip:** La recta tangente representa la mejor aproximación lineal de la función en ese punto. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{y = -4x}$$