Probabilidad condicionada: Exámenes y género

**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar ha aprobado, sea mujer.** Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema: - $V$: 'La persona es varón'. - $M$: 'La persona es mujer'. - $A$: 'La persona aprueba el examen'. - $S$ (o $\bar{A}$): 'La persona suspende el examen'. Datos del enunciado: - $P(V) = 0.41$ - $P(M) = 1 - 0.41 = 0.59$ - $P(A|V) = 0.70$ (probabilidad de aprobar siendo varón) - $P(A|M) = 0.60$ (probabilidad de aprobar siendo mujer) Podemos representar esta situación con un **árbol de probabilidad**:

Para responder a la pregunta de si alguien ha aprobado ($P(M|A)$), primero necesitamos conocer la probabilidad total de que alguien apruebe, $P(A)$. Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(A) = P(V) \cdot P(A|V) + P(M) \cdot P(A|M)$$ Sustituyendo los valores: $$P(A) = 0.41 \cdot 0.70 + 0.59 \cdot 0.60 = 0.287 + 0.354 = 0.641$$ 💡 **Tip:** El suceso 'aprobar' puede ocurrir por dos caminos en el árbol: ser varón y aprobar, o ser mujer y aprobar. Sumamos ambas probabilidades.

Nos piden la probabilidad condicionada $P(M|A)$. Usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|A) = \frac{P(M \cap A)}{P(A)} = \frac{P(M) \cdot P(A|M)}{P(A)}$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(M|A) = \frac{0.59 \cdot 0.60}{0.641} = \frac{0.354}{0.641} \approx 0.5523$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{P(M|A) \approx 0.5523}$$ La probabilidad de que sea mujer dado que ha aprobado es aproximadamente **55.23%**.

**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que si una persona escogida al azar ha suspendido, sea mujer.** Primero calculamos la probabilidad total de suspender ($P(S)$). Como suspender es el suceso contrario a aprobar: $$P(S) = 1 - P(A) = 1 - 0.641 = 0.359$$ Alternativamente, podríamos usar de nuevo la probabilidad total sumando las ramas del árbol que terminan en 'Suspende': $$P(S) = P(V) \cdot P(S|V) + P(M) \cdot P(S|M) = 0.41 \cdot 0.30 + 0.59 \cdot 0.40 = 0.123 + 0.236 = 0.359$$ 💡 **Tip:** Es más rápido calcular el suceso contrario si ya tenemos el de aprobar.

Buscamos $P(M|S)$ aplicando de nuevo el **Teorema de Bayes**: $$P(M|S) = \frac{P(M \cap S)}{P(S)} = \frac{0.59 \cdot 0.40}{0.359}$$ $$P(M|S) = \frac{0.236}{0.359} \approx 0.6574$$ ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{P(M|S) \approx 0.6574}$$ La probabilidad de que sea mujer dado que ha suspendido es aproximadamente **65.74%**.

**c) (0.5 puntos) Ana dice que si alguien ha aprobado, es más probable que sea mujer que varón; Benito dice que si alguien ha suspendido es más probable que sea mujer que varón. ¿Quién tiene razón?** Para comprobar quién tiene razón, debemos comparar las probabilidades de mujer frente a las de varón en cada caso. **Caso de Ana (Aprobados):** Sabemos $P(M|A) = 0.5523$. La probabilidad de que sea varón habiendo aprobado es: $$P(V|A) = 1 - P(M|A) = 1 - 0.5523 = 0.4477$$ Como $0.5523 > 0.4477$, es más probable que sea mujer. **Ana tiene razón**. **Caso de Benito (Suspendidos):** Sabemos $P(M|S) = 0.6574$. La probabilidad de que sea varón habiendo suspendido es: $$P(V|S) = 1 - P(M|S) = 1 - 0.6574 = 0.3426$$ Como $0.6574 > 0.3426$, es más probable que sea mujer. **Benito tiene razón**. ✅ **Resultado apartado c):** $$\boxed{\text{Ambos tienen razón.}}$$