Estimación de la proporción y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Si de una muestra de 500 personas 200 dicen que lo votan, calcule con un nivel de confianza del 97% un intervalo para la proporción de votantes a ese partido en la población.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para el primer apartado: - Tamaño de la muestra ($n$): $n = 500$ - Individuos que votan al partido ($x$): $x = 200$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{200}{500} = 0.4$$ Calculamos la proporción complementaria $\hat{q}$ (los que no votan): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.4 = 0.6$$ 💡 **Tip:** En inferencia para proporciones, recordamos que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $97\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. Dividimos el error en dos colas: $\alpha/2 = 0.015$ 3. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que el valor que corresponde exactamente a $0.985$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.17}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico es el número de desviaciones típicas que debemos alejarnos de la media para cubrir el porcentaje de confianza deseado.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.4 \cdot 0.6}{500}}$$ $$E = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.24}{500}} = 2.17 \cdot \sqrt{0.00048} \approx 2.17 \cdot 0.02191 \approx 0.0475$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.4 - 0.0475, \quad 0.4 + 0.0475) = (0.3525, \quad 0.4475)$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{I.C. = (0.3525, \quad 0.4475)}$$

**b) (1.25 puntos) Si la proporción de votantes en otra muestra ha sido 0.2 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.05, con un nivel de confianza del 99%, calcule el tamaño mínimo de dicha muestra.** Extraemos los nuevos datos: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.2 \implies \hat{q} = 0.8$ - Error máximo: $E \lt 0.05$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99$ Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 2. $\alpha/2 = 0.005$ 3. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$ En las tablas de la normal, el valor $0.995$ se encuentra entre $2.57$ y $2.58$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.575}$$ 💡 **Tip:** Si el valor de probabilidad no está exacto en la tabla, se suele realizar una interpolación o tomar el valor más cercano. Para el $99\%$, $2.575$ es el estándar.

Utilizamos la fórmula del error despejando el tamaño de la muestra ($n$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \cdot \frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}$$ $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(2.575)^2 \cdot 0.2 \cdot 0.8}{(0.05)^2}$$ $$n = \frac{6.630625 \cdot 0.16}{0.0025}$$ $$n = \frac{1.0609}{0.0025} = 424.36$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **inferior** a $0.05$, debemos redondear siempre al alza. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{n = 425 \text{ personas}}$$