Programación lineal: Representación de recintos y optimización

**a) (1.5 puntos) Represente el recinto y calcule sus vértices.** Para representar el recinto, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas. Cada una dividirá el plano en dos regiones: 1) $r_1: 4x - y = 4 \Rightarrow y = 4x - 4$. Pasa por $(1, 0)$ y $(2, 4)$. 2) $r_2: 2x + y = 15 \Rightarrow y = 15 - 2x$. Pasa por $(7.5, 0)$ y $(5, 5)$. 3) $r_3: 3y - x = 10 \Rightarrow y = \frac{x + 10}{3}$. Pasa por $(-10, 0)$ y $(2, 4)$. 4) $r_4: y = 0$ (Eje de abscisas). Para saber qué lado de la recta es el válido, tomamos un punto de prueba, por ejemplo $(2, 2)$: - $4(2) - 2 = 6 \ge 4$ (Cumple $r_1$) - $2(2) + 2 = 6 \le 15$ (Cumple $r_2$) - $3(2) - 2 = 4 \le 10$ (Cumple $r_3$) - $2 \ge 0$ (Cumple $r_4$) 💡 **Tip:** Si el punto $(0,0)$ no pertenece a la recta, es el punto de prueba más sencillo para determinar la región sombreada.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por la intersección de las rectas: - **Vértice A** ($r_1 \cap r_4$): $\begin{cases} 4x - y = 4 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 4x = 4 \Rightarrow x = 1. \quad \text{Punto } \mathbf{A(1, 0)}$ - **Vértice B** ($r_2 \cap r_4$): $\begin{cases} 2x + y = 15 \\ y = 0 \end{cases} \Rightarrow 2x = 15 \Rightarrow x = 7.5. \quad \text{Punto } \mathbf{B(7.5, 0)}$ - **Vértice C** ($r_2 \cap r_3$): $\begin{cases} 2x + y = 15 \\ 3y - x = 10 \end{cases} \Rightarrow x = 3y - 10$ Sustituyendo: $2(3y - 10) + y = 15 \Rightarrow 6y - 20 + y = 15 \Rightarrow 7y = 35 \Rightarrow y = 5$ Si $y = 5, x = 3(5) - 10 = 5. \quad \text{Punto } \mathbf{C(5, 5)}$ - **Vértice D** ($r_1 \cap r_3$): $\begin{cases} 4x - y = 4 \\ 3y - x = 10 \end{cases} \Rightarrow y = 4x - 4$ Sustituyendo: $3(4x - 4) - x = 10 \Rightarrow 12x - 12 - x = 10 \Rightarrow 11x = 22 \Rightarrow x = 2$ Si $x = 2, y = 4(2) - 4 = 4. \quad \text{Punto } \mathbf{D(2, 4)}$ ✅ **Vértices del recinto:** $$\boxed{A(1, 0), \quad B(7.5, 0), \quad C(5, 5), \quad D(2, 4)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule los puntos del recinto donde la función $F(x, y) = 4x - 7y$ alcanza el máximo y el mínimo.** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, el máximo y el mínimo de una función objetivo en un recinto convexo se encuentran en sus vértices. Evaluamos $F(x, y) = 4x - 7y$ en cada punto: - $F(A) = F(1, 0) = 4(1) - 7(0) = 4$ - $F(B) = F(7.5, 0) = 4(7.5) - 7(0) = 30$ - $F(C) = F(5, 5) = 4(5) - 7(5) = 20 - 35 = -15$ - $F(D) = F(2, 4) = 4(2) - 7(4) = 8 - 28 = -20$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **30** y se alcanza en el punto **$B(7.5, 0)$**. - El valor mínimo es **-20** y se alcanza en el punto **$D(2, 4)$**. ✅ **Resultados:** $$\boxed{\text{Máximo en } (7.5, 0) \text{ y Mínimo en } (2, 4)}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Entre qué valores varía la función $F(x, y) = 4x - 7y$ en el recinto?** Como el recinto es una región acotada (cerrada) y la función objetivo es lineal, la función tomará todos los valores comprendidos entre su valor mínimo absoluto y su valor máximo absoluto calculados anteriormente. - Valor mínimo: $-20$ - Valor máximo: $30$ Por tanto, la función varía en el intervalo $[-20, 30]$. 💡 **Tip:** En programación lineal, si el recinto es cerrado, el rango de la función coincide con el intervalo definido por el valor mínimo y máximo en los vértices. ✅ **Resultado:** $$\boxed{[-20, 30]}$$