Vaciado de un depósito de agua

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál es la capacidad del depósito?** La capacidad del depósito coincide con el volumen de agua que hay en el momento inicial, es decir, cuando el tiempo es **$t = 0$**. Sustituimos $t = 0$ en la función $V(t)$: $$V(0) = 8 - 0 + \frac{0^2}{32}$$ $$V(0) = 8 - 0 + 0 = 8$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, el valor inicial siempre se halla evaluando la función en el instante cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La capacidad del depósito es de } 8 \text{ m}^3}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse?** El depósito se vacía cuando el volumen de agua es cero, por lo que debemos resolver la ecuación **$V(t) = 0$**: $$8 - t + \frac{t^2}{32} = 0$$ Para facilitar el cálculo, multiplicamos toda la ecuación por $32$ para eliminar el denominador: $$256 - 32t + t^2 = 0$$ $$t^2 - 32t + 256 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la fórmula general: $$t = \frac{-(-32) \pm \sqrt{(-32)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 256}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{32 \pm \sqrt{1024 - 1024}}{2}$$ $$t = \frac{32 \pm \sqrt{0}}{2} = \frac{32}{2} = 16$$ 💡 **Tip:** Cuando el discriminante (lo que hay dentro de la raíz) es $0$, significa que hay una única solución real. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El depósito tarda } 16 \text{ minutos en vaciarse}}$$

**c) (0.8 puntos) Represente gráficamente la función $V$.** La función $V(t) = \frac{1}{32}t^2 - t + 8$ es una función cuadrática, por lo que su representación es una **parábola**. Dado que el coeficiente de $t^2$ es positivo ($\frac{1}{32} \gt 0$), la parábola está abierta hacia arriba. El dominio de interés para el problema es el intervalo de tiempo desde que empieza a vaciarse hasta que se queda vacío: **$t \in [0, 16]$**. Calculamos los puntos clave: 1. **Punto inicial:** $(0, 8)$. 2. **Vértice:** El tiempo del vértice es $t_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \cdot (1/32)} = \frac{1}{1/16} = 16$. La ordenada es $V(16) = 0$. El punto es $(16, 0)$. 3. **Punto intermedio ($t=8$):** $V(8) = 8 - 8 + \frac{8^2}{32} = \frac{64}{32} = 2$. El punto es $(8, 2)$.

**d) (0.7 puntos) Calcule la derivada de esa función en $t = 8$ e interprete su significado.** Primero, hallamos la función derivada $V'(t)$. Aplicamos la regla de la derivada para potencias: $$V(t) = 8 - t + \frac{1}{32}t^2$$ $$V'(t) = 0 - 1 + \frac{1}{32} \cdot 2t$$ $$V'(t) = -1 + \frac{t}{16}$$ Ahora, calculamos el valor de la derivada en **$t = 8$**: $$V'(8) = -1 + \frac{8}{16} = -1 + 0.5 = -0.5$$ **Interpretación:** La derivada de una función volumen respecto al tiempo representa la **tasa de variación instantánea** o la velocidad a la que cambia el volumen. En este contexto: - El valor $0.5$ indica que en el minuto 8, el agua está saliendo a un ritmo de **$0.5 \text{ m}^3$ por minuto**. - El signo **negativo** indica que el volumen está **disminuyendo** (el depósito se está vaciando). 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada siempre mide "cuánto cambia la y por cada unidad que cambia la x" en un instante preciso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V'(8) = -0.5 \text{ m}^3/\text{min}. \text{ Significa que el volumen disminuye a un ritmo de } 0.5 \text{ m}^3/\text{min en ese instante.}}$$