Probabilidad con lanzamiento de dados

**a) (0.5 puntos) Determine el número de resultados del espacio muestral de este experimento aleatorio.** El experimento consiste en lanzar un dado de 6 caras dos veces. El espacio muestral, que llamaremos $E$, está formado por todos los pares ordenados $(x, y)$, donde $x$ es el resultado del primer lanzamiento e $y$ el del segundo. Como cada lanzamiento tiene 6 resultados posibles y son independientes entre sí, aplicamos el principio multiplicativo: $$\text{Número de resultados} = 6 \times 6 = 36.$$ Los posibles resultados se pueden visualizar como: $$E = \{(1,1), (1,2), \dots, (1,6), (2,1), \dots, (6,6)\}$$ 💡 **Tip:** En experimentos compuestos de varios pasos, el número total de resultados es el producto del número de resultados de cada paso individual. ✅ **Resultado:** $$\boxed{36 \text{ resultados}}$$

**b) (1.5 puntos) Sea $A$ el suceso "la mayor de las puntuaciones obtenidas es menor que 4" y $B$ el suceso "la primera puntuación es impar". Halle la probabilidad de $A$ y la de $B$.** Analizamos primero el suceso $A$: "la mayor de las puntuaciones obtenidas es menor que 4". Esto significa que tanto la primera como la segunda puntuación deben ser menores que 4, es decir, deben pertenecer al conjunto $\{1, 2, 3\}$. Los casos favorables para $A$ son: $$A = \{(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$$ Contamos el número de casos favorables: $3 \times 3 = 9$. Usamos la regla de Laplace: $$P(A) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{9}{36}$$ Simplificando la fracción: $$P(A) = \frac{1}{4} = 0.25$$ ✅ **Resultado P(A):** $$\boxed{P(A) = 0.25}$$

Analizamos ahora el suceso $B$: "la primera puntuación es impar". Los resultados posibles para la primera puntuación que son impares son $\{1, 3, 5\}$. La segunda puntuación puede ser cualquier valor del 1 al 6. Los casos favorables para $B$ son: - Primera puntuación 1: $\{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)\}$ (6 casos) - Primera puntuación 3: $\{(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)\}$ (6 casos) - Primera puntuación 5: $\{(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$ (6 casos) Total de casos favorables para $B$: $6 + 6 + 6 = 18$. Aplicamos la regla de Laplace: $$P(B) = \frac{18}{36}$$ Simplificando: $$P(B) = \frac{1}{2} = 0.5$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de un suceso simple en un dado es $1/6$. Como hay 3 números impares posibles para el primer dado, su probabilidad es $3/6 = 0.5$, independientemente de lo que salga en el segundo. ✅ **Resultado P(B):** $$\boxed{P(B) = 0.5}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Son independientes $A$ y $B$?** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple la condición: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Primero, identificamos el suceso intersección $A \cap B$, que es "la mayor puntuación es menor que 4" Y "la primera es impar". Esto implica que: 1. Ambas puntuaciones están en $\{1, 2, 3\}$. 2. La primera puntuación es 1 o 3. Los casos favorables de $A \cap B$ son: $$A \cap B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (3,1), (3,2), (3,3)\}$$ Hay **6 casos favorables**. Calculamos la probabilidad de la intersección: $$P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ Ahora comparamos con el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$$ Como $\frac{1}{6} \neq \frac{1}{8}$, los sucesos **no son independientes**. 💡 **Tip:** Si el hecho de que ocurra $B$ modifica la probabilidad de que ocurra $A$, los sucesos son dependientes. En este caso $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/6}{1/2} = \frac{1}{3} \neq P(A)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A y B no son independientes (son dependientes)}}$$