Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) (1.25 puntos) Observada una muestra aleatoria de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral de 0.3 segundos. Obtenga un intervalo de confianza para la media de la población con un nivel de confianza del 94%.** Primero, identificamos los datos del enunciado para la variable $X$ (tiempo de reacción en segundos): - Distribución poblacional: $N(\mu, 0.2)$, por lo que $\sigma = 0.2$. - Tamaño de la muestra: $n = 25$. - Media muestral: $\bar{x} = 0.3$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.94$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Si $1 - \alpha = 0.94$, entonces $\alpha = 0.06$. 2. Repartimos el error en las dos colas: $\alpha/2 = 0.03$. 3. Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97.$$ Mirando en la tabla, el valor más cercano a $0.9700$ es **$z_{\alpha/2} = 1.88$** (que corresponde a una probabilidad de $0.9699$). 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es el valor que deja a su derecha una probabilidad de $\alpha/2$ y a su izquierda $1 - \alpha/2$.

La fórmula del error máximo admisible para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$E = 1.88 \cdot \frac{0.2}{\sqrt{25}} = 1.88 \cdot \frac{0.2}{5} = 1.88 \cdot 0.04 = 0.0752.$$ El intervalo de confianza se calcula como $IC = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (0.3 - 0.0752, \, 0.3 + 0.0752)$$ $$IC = (0.2248, \, 0.3752)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.2248, \, 0.3752)}$$

**b) (1.25 puntos) A un nivel de confianza del 90%, ¿cuál será el tamaño muestral mínimo si el error cometido es inferior a 0.05?** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \alpha/2 = 0.05$. - Error máximo: $E \lt 0.05$. - Desviación típica: $\sigma = 0.2$. Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95.$$ En las tablas, para una probabilidad de $0.95$, el valor se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: **$z_{\alpha/2} = 1.645$**. 💡 **Tip:** Para niveles de confianza habituales es bueno recordar: 90% $\to z = 1.645$, 95% $\to z = 1.96$, 99% $\to z = 2.575$.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Queremos que $E \lt 0.05$, por lo que planteamos la inecuación: $$\frac{1.645 \cdot 0.2}{\sqrt{n}} \lt 0.05$$ $$\frac{0.329}{\sqrt{n}} \lt 0.05 \implies \frac{0.329}{0.05} \lt \sqrt{n}$$ $$6.58 \lt \sqrt{n} \implies n \gt (6.58)^2$$ $$n \gt 43.2964$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero, debemos redondear siempre al alza para garantizar que el error sea menor al propuesto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 44}$$