Programación lineal: Optimización de un recinto y cálculo de vértices

**a) (1 punto) Represente gráficamente dicho recinto.** Para representar el recinto, primero identificamos las rectas que actúan como fronteras de las inecuaciones. Para ello, sustituimos los símbolos de desigualdad por el signo igual: 1. **$r_1: x + y = 15$**. Es una recta que pasa por los puntos $(0, 15)$ y $(15, 0)$. 2. **$r_2: x = 2y$** o bien **$y = \frac{1}{2}x$**. Es una recta que pasa por el origen $(0, 0)$ y por el punto $(12, 6)$. 3. **$r_3: y = 6$**. Es una recta horizontal que pasa por el punto $(0, 6)$. 4. **$r_4: y = 0$**. Es el eje de abscisas (Eje $X$). 5. **$r_5: x = 0$**. Es el eje de ordenadas (Eje $Y$). Posteriormente, aplicamos las desigualdades para determinar la **región factible**: - $x+y \le 15$ indica la zona por debajo de la recta $r_1$. - $x \le 2y$ indica la zona por encima de la recta $r_2$ (ya que si probamos el punto $(0,1)$, $0 \le 2$ es cierto). - $0 \le y \le 6$ limita la región entre el eje $X$ y la recta horizontal $y=6$. - $x \ge 0$ limita la región al semiplano derecho (primer y cuarto cuadrante). 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta sombrear, elige un punto de prueba que no esté en la recta (como el $(0,1)$ o $(1,1)$) y comprueba si cumple la inecuación.

Representamos todas las restricciones en el plano cartesiano. La intersección de todos los semiplanos definidos por las inecuaciones genera el recinto o región factible. En el siguiente gráfico interactivo se muestra el área sombreada resultante:

**b) (1 punto) Calcule sus vértices.** Los vértices del recinto son los puntos de intersección de las rectas frontera que limitan la región factible. Según la gráfica, calculamos las intersecciones correspondientes: * **Vértice A:** Intersección de $x = 0$ ($r_5$) y $y = 0$ ($r_4$). $$\begin{cases} x = 0 \\ y = 0 \end{cases} \implies \mathbf{A(0, 0)}$$ * **Vértice B:** Intersección de $x = 0$ ($r_5$) y $y = 6$ ($r_3$). $$\begin{cases} x = 0 \\ y = 6 \end{cases} \implies \mathbf{B(0, 6)}$$ * **Vértice C:** Intersección de $y = 6$ ($r_3$) y $x + y = 15$ ($r_1$). Sustituimos $y=6$ en la ecuación: $$x + 6 = 15 \implies x = 9 \implies \mathbf{C(9, 6)}$$ * **Vértice D:** Intersección de $x + y = 15$ ($r_1$) y $x = 2y$ ($r_2$). Sustituimos $x=2y$ en la primera ecuación: $$2y + y = 15 \implies 3y = 15 \implies y = 5$$ Como $x = 2y$, entonces $x = 2(5) = 10 \implies \mathbf{D(10, 5)}$$ ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(0, 0), \ B(0, 6), \ C(9, 6), \ D(10, 5)}$$

**c) (0.5 puntos) Determine el máximo valor de la función $F(x, y) = 8x + 5y$ en el recinto anterior y dónde se alcanza.** El Teorema Fundamental de la Programación Lineal establece que el valor óptimo de una función objetivo lineal se alcanza siempre en uno de los vértices del recinto factible. Evaluamos la función $F(x, y) = 8x + 5y$ en cada vértice: 1. En **$A(0, 0)$**: $F(0, 0) = 8(0) + 5(0) = 0$ 2. En **$B(0, 6)$**: $F(0, 6) = 8(0) + 5(6) = 30$ 3. En **$C(9, 6)$**: $F(9, 6) = 8(9) + 5(6) = 72 + 30 = 102$ 4. En **$D(10, 5)$**: $F(10, 5) = 8(10) + 5(5) = 80 + 25 = 105$ Comparando los resultados, observamos que el valor más alto es $105$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el recinto es acotado (está cerrado), el máximo y el mínimo siempre existirán y estarán en los vértices o en los bordes. ✅ **Resultado (Máximo):** $$\boxed{\text{El máximo valor es } 105 \text{ y se alcanza en el punto } (10, 5)}$$