Estudio de monotonía, extremos y pendiente de la tangente

**a) (1 punto) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3$. $$f'(x) = 4x - \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = 4x - x^2$$ Ahora, buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 4x - x^2 = 0 \implies x(4 - x) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: - $x = 0$ - $4 - x = 0 \implies x = 4$ 💡 **Tip:** Recuerda que los intervalos de crecimiento y decrecimiento se determinan por el signo de la primera derivada. Si $f'(x) \gt 0$, la función crece; si $f'(x) \lt 0$, decrece.

Dividimos la recta real en intervalos usando los puntos críticos encontrados ($x=0$ y $x=4$) y evaluamos el signo de $f'(x) = 4x - x^2$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 4(-1) - (-1)^2 = -5 \lt 0$ (**Decrece**). - En $(0, 4)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 4(1) - (1)^2 = 3 \gt 0$ (**Crece**). - En $(4, +\infty)$, tomamos $x = 5$: $f'(5) = 4(5) - (5)^2 = 20 - 25 = -5 \lt 0$ (**Decrece**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 4) \quad \text{y Decreciente en } (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)}$$

**b) (1 punto) Las coordenadas de sus extremos relativos.** Basándonos en el estudio de la monotonía del apartado anterior: 1. En $x = 0$ hay un **mínimo relativo** (pasa de decrecer a crecer). 2. En $x = 4$ hay un **máximo relativo** (pasa de crecer a decrecer). Calculamos las ordenadas sustituyendo en la función original $f(x) = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3$: - Para $x = 0$: $f(0) = 2(0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3 = 0$. El mínimo es $\mathbf{(0, 0)}$. - Para $x = 4$: $f(4) = 2(4)^2 - \frac{1}{3}(4)^3 = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$. El máximo es $\mathbf{(4, 32/3)}$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo: } (0, 0), \quad \text{Máximo relativo: } (4, 32/3)}$$

**c) (0.5 puntos) El punto de la gráfica en el que la pendiente de la recta tangente a dicha gráfica es 4.** La pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, $f'(x)$. Por tanto, buscamos $x$ tal que $f'(x) = 4$. $$4x - x^2 = 4$$ Reordenamos la ecuación de segundo grado: $$x^2 - 4x + 4 = 0$$ Observamos que es un producto notable $(x-2)^2 = 0$, pero aplicamos la fórmula general para mayor claridad: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ Ahora calculamos la coordenada $y$ sustituyendo $x=2$ en $f(x)$: $$f(2) = 2(2)^2 - \frac{1}{3}(2)^3 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto $(a, f(a))$ es siempre $m = f'(a)$. ✅ **Resultado (Punto):** $$\boxed{P\left(2, \frac{16}{3}\right)}$$