Probabilidad condicionada y Teorema de Bayes en el transporte

**a) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue a tiempo a clase y haya ido en autobús.** En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el problema para organizar la información: - $B$: El alumno va en autobús. - $C$: El alumno va en coche. - $T$: El alumno llega tarde a clase. - $A$: El alumno llega a tiempo a clase (es el suceso contrario a llegar tarde, $A = \bar{T}$). Extraemos los datos del enunciado: - Probabilidad de ir en autobús: $P(B) = 0.80$ - Probabilidad de ir en coche: $P(C) = 1 - 0.80 = 0.20$ - Si va en autobús, llega tarde el 20%: $P(T|B) = 0.20 \implies P(A|B) = 1 - 0.20 = 0.80$ - Si va en coche, llega a tiempo el 10%: $P(A|C) = 0.10 \implies P(T|C) = 1 - 0.10 = 0.90$ Representamos estos datos mediante un **árbol de probabilidad**:

Para resolver este apartado, buscamos la probabilidad de la intersección de ir en autobús ($B$) y llegar a tiempo ($A$): $$P(B \cap A) = P(B) \cdot P(A|B)$$ Sustituimos los valores correspondientes de nuestro árbol: $$P(B \cap A) = 0.80 \cdot 0.80 = 0.64$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de una intersección en un árbol se halla multiplicando las probabilidades de las ramas del camino que lleva a ese suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(B \cap A) = 0.64}$$

**b) (0.75 puntos) La probabilidad de que llegue tarde a clase.** Para calcular la probabilidad de que el alumno llegue tarde ($T$), debemos considerar las dos formas posibles de llegar a clase (autobús o coche). Aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(T) = P(B) \cdot P(T|B) + P(C) \cdot P(T|C)$$ Sustituimos los valores del árbol: $$P(T) = 0.80 \cdot 0.20 + 0.20 \cdot 0.90$$ $$P(T) = 0.16 + 0.18 = 0.34$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total consiste en sumar todas las ramas finales que terminan en el suceso deseado (en este caso, 'llegar tarde'). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(T) = 0.34}$$

**c) (1 punto) Si ha llegado a tiempo a clase, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido en autobús?** Se nos pide calcular una probabilidad sabiendo que ya ha ocurrido un suceso (ha llegado a tiempo). Esto es una probabilidad condicionada. "No haber ido en autobús" equivale en este problema a haber ido en coche ($C$). Buscamos $P(C|A)$, que calculamos mediante el **Teorema de Bayes**: $$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$$ Calculamos primero los componentes: 1. Probabilidad de llegar a tiempo $P(A)$: Como es el suceso contrario a llegar tarde ($T$): $$P(A) = 1 - P(T) = 1 - 0.34 = 0.66$$ 2. Probabilidad de ir en coche y llegar a tiempo $P(C \cap A)$: $$P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A|C) = 0.20 \cdot 0.10 = 0.02$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(C|A) = \frac{0.02}{0.66}$$ Para simplificar la fracción, multiplicamos numerador y denominador por 100: $$P(C|A) = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \approx 0.0303$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes nos permite "invertir" la condicional. Es fundamental calcular correctamente la probabilidad total del suceso que condiciona (en este caso, llegar a tiempo). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C|A) = \frac{1}{33} \approx 0.0303}$$