Inferencia estadística: Intervalo de confianza para la proporción

**a) (1.75 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la proporción de trabajadores que residen fuera.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para estudiar la proporción de trabajadores que residen fuera de la ciudad: - Tamaño de la muestra: $n = 500$ - Número de trabajadores que residen fuera: $x = 118$ Calculamos la proporción muestral ($\hat{p}$), que es la probabilidad de éxito observada en nuestra muestra: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{118}{500} = 0.236$$ Calculamos también la proporción complementaria (fracaso), que llamaremos $\hat{q}$: $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.236 = 0.764$$ 💡 **Tip:** En problemas de proporciones, recuerda que $\hat{p}$ y $\hat{q}$ siempre deben sumar $1$.

Para un nivel de confianza del $93\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ utilizando la tabla de la distribución Normal estándar $N(0, 1)$. 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.93$ 2. Calculamos $\alpha$: $\alpha = 1 - 0.93 = 0.07$ 3. Dividimos $\alpha$ entre dos: $\alpha/2 = 0.035$ 4. Buscamos el valor de $z$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.035 = 0.965$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor más cercano a $0.965$: - $P(Z \le 1.81) = 0.9649$ - $P(Z \le 1.82) = 0.9656$ El valor más próximo es **$z_{\alpha/2} = 1.81$**. 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, elegimos el más cercano o hacemos una media aritmética si la distancia es la misma.

La fórmula para el intervalo de confianza de una proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \quad \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Sustituimos los valores obtenidos: $$I.C. = \left( 0.236 - 1.81 \cdot \sqrt{\frac{0.236 \cdot 0.764}{500}}, \quad 0.236 + 1.81 \cdot \sqrt{\frac{0.236 \cdot 0.764}{500}} \right)$$ Calculamos el error (el término que se resta y suma): $$E = 1.81 \cdot \sqrt{\frac{0.180304}{500}} = 1.81 \cdot \sqrt{0.000360608} = 1.81 \cdot 0.01899 \approx 0.0344$$ Calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $0.236 - 0.0344 = 0.2016$ - Límite superior: $0.236 + 0.0344 = 0.2704$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (0.2016, \, 0.2704)}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule el error cometido en el intervalo anterior.** El error máximo admisible o error cometido ($E$) en un intervalo de confianza es la distancia desde la proporción muestral hasta los extremos del intervalo. Su fórmula es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Como ya hemos realizado este cálculo en el apartado anterior para obtener el intervalo, simplemente recuperamos el valor: $$E = 1.81 \cdot \sqrt{\frac{0.236 \cdot 0.764}{500}} = 1.81 \cdot 0.01899 = 0.0343719...$$ Redondeando a cuatro decimales, obtenemos el error cometido. ✅ **Resultado (Error cometido):** $$\boxed{E = 0.0344}$$