Operaciones y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^t \cdot B - A \cdot B^t$.** En primer lugar, necesitamos obtener las matrices transpuestas de $A$ y $B$. La transpuesta de una matriz se obtiene intercambiando sus filas por columnas. Dada $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \implies A^t = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ Dada $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \implies B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $A$ es una matriz de dimensión $m \times n$, su transpuesta $A^t$ tendrá dimensión $n \times m$.

Ahora calculamos los dos productos indicados en la expresión: 1. Calculamos $A^t \cdot B$: $$A^t \cdot B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (3)(-1) & (2)(2) + (3)(0) \\ (1)(1) + (1)(-1) & (1)(2) + (1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos $A \cdot B^t$: $$A \cdot B^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(1) + (1)(2) & (2)(-1) + (1)(0) \\ (3)(1) + (1)(2) & (3)(-1) + (1)(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto de matrices se realiza multiplicando fila por columna: el elemento $c_{ij}$ es la suma de los productos de los elementos de la fila $i$ de la primera matriz por la columna $j$ de la segunda.

Restamos los resultados obtenidos en el paso anterior: $$A^t \cdot B - A \cdot B^t = \begin{pmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 4 & 4 - (-2) \\ 0 - 5 & 2 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (a):** $$\boxed{\begin{pmatrix} -5 & 6 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}}$$

**b) (1.5 puntos) Resuelva la ecuación matricial $AX + BA = B$.** Primero, aislamos el término que contiene la incógnita $X$: $$AX = B - BA$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1} \cdot (AX) = A^{-1} \cdot (B - BA)$$ $$(A^{-1} A) X = A^{-1} (B - BA)$$ $$I \cdot X = A^{-1} (B - BA)$$ $$X = A^{-1} (B - BA)$$ 💡 **Tip:** El orden en el producto de matrices es fundamental. Si multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda en un lado de la igualdad, debemos hacerlo también por la izquierda en el otro lado.

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (1)(3) = 2 - 3 = -1$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: $$A_{11} = 1, \quad A_{12} = -3$$ $$A_{21} = -1, \quad A_{22} = 2$$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** La matriz inversa de una matriz $2 \times 2$ es fácil de recordar: intercambia los elementos de la diagonal principal, cambia el signo de la secundaria y divide todo por el determinante.

Calculamos primero el producto $BA$: $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(2)+(2)(3) & (1)(1)+(2)(1) \\ (-1)(2)+(0)(3) & (-1)(1)+(0)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la resta $B - BA$: $$B - BA = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-8 & 2-3 \\ -1-(-2) & 0-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $A^{-1}$ por el resultado anterior: $$X = A^{-1} (B - BA) = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -7 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} (-1)(-7)+(1)(1) & (-1)(-1)+(1)(1) \\ (3)(-7)+(-2)(1) & (3)(-1)+(-2)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7+1 & 1+1 \\ -21-2 & -3-2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -23 & -5 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final (b):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ -23 & -5 \end{pmatrix}}$$