Cálculo de derivadas de funciones elementales y compuestas

**a) (0.8 puntos) $f(x) = \frac{e^{3x}}{1 + x^2}$.** Para resolver este apartado, identificamos que $f(x)$ es un cociente de dos funciones. Aplicaremos la regla de la derivada de un cociente: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$$ Donde: - $u = e^{3x} \implies u' = 3e^{3x}$ (aplicando la regla de la cadena para la exponencial). - $v = 1 + x^2 \implies v' = 2x$. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{f(x)}$ es $e^{f(x)} \cdot f'(x)$. En este caso, la derivada de $3x$ es $3$.

Sustituimos en la fórmula del cociente: $$f'(x) = \frac{(3e^{3x}) \cdot (1 + x^2) - (e^{3x}) \cdot (2x)}{(1 + x^2)^2}$$ Ahora simplificamos el numerador sacando factor común $e^{3x}$: $$f'(x) = \frac{e^{3x} [3(1 + x^2) - 2x]}{(1 + x^2)^2} = \frac{e^{3x} (3 + 3x^2 - 2x)}{(1 + x^2)^2}$$ Ordenando los términos del polinomio: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f'(x) = \frac{e^{3x} (3x^2 - 2x + 3)}{(1 + x^2)^2}}$$

**b) (0.8 puntos) $g(x) = \ln\{x(1 + 3x^2)\}$.** Aunque podemos derivar directamente usando la regla de la cadena, es mucho más sencillo aplicar primero las propiedades de los logaritmos. Recordamos que $\ln(A \cdot B) = \ln(A) + \ln(B)$: $$g(x) = \ln(x) + \ln(1 + 3x^2)$$ Ahora derivamos término a término. - La derivada de $\ln(x)$ es $\frac{1}{x}$. - La derivada de $\ln(1 + 3x^2)$ es $\frac{(1 + 3x^2)'}{1 + 3x^2} = \frac{6x}{1 + 3x^2}$. 💡 **Tip:** Aplicar propiedades de logaritmos antes de derivar evita tener que usar la regla del producto dentro de la regla de la cadena, simplificando mucho los cálculos.

Sumamos ambas derivadas: $$g'(x) = \frac{1}{x} + \frac{6x}{1 + 3x^2}$$ Para dejar el resultado en una sola fracción, buscamos común denominador $x(1 + 3x^2)$: $$g'(x) = \frac{1 \cdot (1 + 3x^2) + 6x \cdot x}{x(1 + 3x^2)} = \frac{1 + 3x^2 + 6x^2}{x(1 + 3x^2)}$$ Sumamos los términos semejantes: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{g'(x) = \frac{9x^2 + 1}{x(1 + 3x^2)}}$$

**c) (0.9 puntos) $h(x) = 2^{5x} + \frac{1}{x^2}$.** Derivamos cada sumando por separado: 1. Para $2^{5x}$: Es una función exponencial de base $a$. Su derivada es $(a^u)' = a^u \cdot \ln(a) \cdot u'$. $$ (2^{5x})' = 2^{5x} \cdot \ln(2) \cdot 5 $$ 2. Para $\frac{1}{x^2}$: Es más fácil verla como una potencia con exponente negativo: $$ \frac{1}{x^2} = x^{-2} \implies (x^{-2})' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} $$ 💡 **Tip:** No confundas la derivada de $e^{x}$ con la de $a^{x}$. La de base genérica siempre requiere multiplicar por el logaritmo neperiano de la base.

Combinamos ambos resultados para obtener la derivada total: $$h'(x) = 5 \cdot 2^{5x} \cdot \ln(2) - \frac{2}{x^3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{h'(x) = 5 \ln(2) \cdot 2^{5x} - \frac{2}{x^3}}$$