Probabilidad en un congreso médico

Para resolver este problema, lo primero es definir los sucesos y organizar la información en una tabla de contingencia. Definimos los sucesos: - $M$: La persona elegida es mujer. - $H$: La persona elegida es hombre. - $P$: La persona elegida es pediatra. - $\bar{P}$: La persona elegida no es pediatra. Datos del enunciado: - Total de asistentes: $180$. - Número de mujeres ($M$): $100$. Por tanto, el número de hombres es $180 - 100 = 80$. - Número de pediatras ($P$): $60$. Por tanto, no pediatras es $180 - 60 = 120$. - Mujeres pediatras ($M \cap P$): $20$. Calculamos el resto de valores de la tabla: - Hombres pediatras: $N(H \cap P) = N(P) - N(M \cap P) = 60 - 20 = 40$. - Mujeres no pediatras: $N(M \cap \bar{P}) = N(M) - N(M \cap P) = 100 - 20 = 80$. - Hombres no pediatras: $N(H \cap \bar{P}) = N(H) - N(H \cap P) = 80 - 40 = 40$. La tabla de contingencia queda así: $$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline & \text{Pediatras (P)} & \text{No Pediatras (\bar{P})} & \text{Total} \\\hline \text{Mujeres (M)} & 20 & 80 & 100 \\\hline \text{Hombres (H)} & 40 & 40 & 80 \\\hline \text{Total} & 60 & 120 & 180 \\\hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con dos características (género y especialidad), la tabla de contingencia es la herramienta más clara para visualizar todas las intersecciones de sucesos.

**a) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y pediatra?** Nos piden la probabilidad de la intersección de ser mujer y ser pediatra, es decir, $P(M \cap P)$. Utilizando la regla de Laplace: $$P(M \cap P) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}} = \frac{N(M \cap P)}{N(\text{Total})}$$ De nuestra tabla extraemos que hay $20$ mujeres pediatras de un total de $180$ personas: $$P(M \cap P) = \frac{20}{180}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre $20$: $$P(M \cap P) = \frac{1}{9} \approx 0.1111$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap P) = \frac{1}{9} \approx 0.1111}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad de la intersección "y" en una tabla se encuentra directamente en la celda donde cruzan ambas categorías.

**b) (0.75 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea hombre ni sea pediatra?** Analicemos el suceso "no hombre y no pediatra". - No ser hombre ($H^c$) es equivalente a ser mujer ($M$) en este contexto. - No ser pediatra es $\bar{P}$. Por tanto, nos están pidiendo la probabilidad de ser mujer y no ser pediatra: $P(M \cap \bar{P})$. Consultamos la tabla de contingencia para ver cuántas mujeres no son pediatras: $$N(M \cap \bar{P}) = 80$$ Aplicamos la regla de Laplace: $$P(M \cap \bar{P}) = \frac{80}{180}$$ Simplificamos dividiendo entre $20$: $$P(M \cap \bar{P}) = \frac{4}{9} \approx 0.4444$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M \cap \bar{P}) = \frac{4}{9} \approx 0.4444}$$ 💡 **Tip:** La expresión "ni A ni B" se traduce matemáticamente como la intersección de los complementarios: $\bar{A} \cap \bar{B}$.

**c) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que sea pediatra?** Nos piden la probabilidad total del suceso ser pediatra, $P(P)$, sin importar el género. De la tabla de contingencia, observamos que el total de pediatras es $60$: $$N(P) = 60$$ Aplicamos la regla de Laplace con respecto al total de asistentes: $$P(P) = \frac{60}{180}$$ Simplificamos dividiendo entre $60$: $$P(P) = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(P) = \frac{1}{3} \approx 0.3333}$$