Contraste de hipótesis para la media: producción de naranjos

**a) (1.5 puntos) Plantee el contraste de hipótesis unilateral que responda a las condiciones del problema y determine la región crítica para un nivel de significación $\alpha = 0.05$.** Primero, definimos la variable aleatoria $X = \text{producción de un naranjo en kg}$. Según el enunciado, $X$ sigue una distribución normal $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 5$ kg. El agricultor cree que la producción media es de **88 kg o más**. En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener la igualdad o la afirmación que se quiere contrastar (en este caso, que la producción es satisfactoria). Planteamos el contraste unilateral a la izquierda (porque lo que pondría en duda su creencia es que la media fuera significativamente menor): - **Hipótesis nula**: $H_0: \mu \ge 88$ - **Hipótesis alternativa**: $H_1: \mu \lt 88$ 💡 **Tip:** El contraste es unilateral a la izquierda porque la región de rechazo se situará en los valores pequeños de la media muestral, que son los que contradicen la creencia de $\mu \ge 88$. $$\boxed{H_0: \mu \ge 88; \quad H_1: \mu \lt 88}$$

Para una población $N(\mu, \sigma)$, el estadístico de contraste es la media muestral $\bar{X}$. Sabemos que para muestras de tamaño $n$, la media muestral sigue una distribución: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ En nuestro caso: - $\mu_0 = 88$ (valor bajo la hipótesis nula). - $\sigma = 5$ - $n = 10$ Por tanto, bajo $H_0$, la distribución es: $$\bar{X} \sim N\left(88, \frac{5}{\sqrt{10}}\right) \approx N(88, 1.581)$$ El nivel de significación es $\alpha = 0.05$. Como es un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$$ Mirando en las tablas de la Normal $N(0, 1)$, para una probabilidad de $0.95$ obtenemos $z_{0.05} = 1.645$. Por simetría, el valor que deja un $5\%$ a la izquierda es **$-1.645$**. 💡 **Tip:** En los contrastes unilaterales con $\alpha=0.05$, el valor crítico de $Z$ es siempre $1.645$ (positivo o negativo según el lado).

La región crítica (o región de rechazo) está formada por los valores de la media muestral $\bar{x}$ que cumplen: $$\bar{x} \lt \mu_0 - z_{\alpha} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Calculamos el valor límite: $$x_c = 88 - 1.645 \cdot \frac{5}{\sqrt{10}}$$ $$x_c = 88 - 1.645 \cdot 1.5811$$ $$x_c = 88 - 2.601$$ $$x_c = 85.399$$ Por tanto, la región crítica es el intervalo de valores menores que $85.399$. ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = (-\infty, \, 85.399)}$$

**b) (1 punto) Con los datos de esta muestra, ¿qué conclusión debe obtener el agricultor sobre la producción media por naranjo de su finca, utilizando ese mismo nivel de significación?** Calculamos la media de los datos proporcionados por el agricultor: Valores: $80, 83, 87, 95, 86, 92, 85, 83, 84, 95$ $$\bar{x} = \frac{80 + 83 + 87 + 95 + 86 + 92 + 85 + 83 + 84 + 95}{10}$$ $$\bar{x} = \frac{870}{10} = 87 \text{ kg}$$ 💡 **Tip:** Suma con cuidado todos los valores. En este tipo de ejercicios, un error en la suma invalida la conclusión final.

Comparamos el valor obtenido en la muestra ($\bar{x} = 87$) con la región crítica calculada en el apartado anterior: - El valor crítico era **$85.399$**. - Nuestra media muestral es **$87$**. Observamos que $87 \gt 85.399$, por lo que **la media muestral no pertenece a la región crítica** ($87 \notin RC$). **Conclusión:** Al no estar en la región de rechazo, **no tenemos evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula $H_0$**. Por lo tanto, aceptamos la creencia del agricultor: la producción media por naranjo en su finca es de **88 kg o más**, con un nivel de significación del $5\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se acepta } H_0. \text{ La producción media es } \ge 88 \text{ kg.}}$$