Problema de Programación Lineal: Optimización de costes de abastecimiento

**¿Cuántos contenedores debería pedir el supermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades con el menor coste posible? Indique cuál sería ese coste mínimo.** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema, que son el número de contenedores de cada tipo: - $x$: número de contenedores pedidos al mayorista A. - $y$: número de contenedores pedidos al mayorista B. El objetivo es minimizar el coste total. Según los precios por contenedor (350 € para A y 550 € para B), la **función objetivo** es: $$f(x, y) = 350x + 550y$$ 💡 **Tip:** En problemas de programación lineal, siempre comienza definiendo claramente qué representan $x$ e $y$ y qué función quieres maximizar o minimizar.

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Cantidad de gambas:** El mayorista A envía 2 cajas por contenedor y el B envía 1. Se necesitan al menos 50: $$2x + y \ge 50$$ 2. **Cantidad de langostinos:** El mayorista A envía 3 cajas y el B envía 5. Se necesitan al menos 180: $$3x + 5y \ge 180$$ 3. **Capacidad máxima de almacenamiento:** No se pueden almacenar más de 50 contenedores en total: $$x + y \le 50$$ 4. **No negatividad:** No se pueden pedir cantidades negativas de contenedores: $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ 💡 **Tip:** Asegúrate de que todas las unidades coincidan y de leer bien palabras clave como "como mínimo" ($\ge$) o "como máximo" ($\le$).

Para hallar la solución, representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - **$r_1: 2x + y = 50$** (Pasa por $(0, 50)$ y $(25, 0)$) - **$r_2: 3x + 5y = 180$** (Pasa por $(0, 36)$ y $(60, 0)$) - **$r_3: x + y = 50$** (Pasa por $(0, 50)$ y $(50, 0)$) La región factible es el polígono cuyos puntos cumplen todas las desigualdades simultáneamente.

Los vértices de la región factible son los puntos de intersección de las rectas que la delimitan: - **Vértice A:** Intersección de $2x + y = 50$ y $3x + 5y = 180$. Sustituimos $y = 50 - 2x$ en la segunda ecuación: $$3x + 5(50 - 2x) = 180 \implies 3x + 250 - 10x = 180 \implies -7x = -70 \implies x = 10$$ $$y = 50 - 2(10) = 30 \implies \mathbf{A(10, 30)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $3x + 5y = 180$ y $x + y = 50$. Sustituimos $x = 50 - y$ en la primera ecuación: $$3(50 - y) + 5y = 180 \implies 150 - 3y + 5y = 180 \implies 2y = 30 \implies y = 15$$ $$x = 50 - 15 = 35 \implies \mathbf{B(35, 15)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $2x + y = 50$ y $x + y = 50$. Restando ambas ecuaciones: $(2x - x) + (y - y) = 50 - 50 \implies x = 0$. Sustituyendo: $0 + y = 50 \implies y = 50 \implies \mathbf{C(0, 50)}$$

Evaluamos la función de coste $f(x, y) = 350x + 550y$ en cada vértice para encontrar el valor mínimo: - En $A(10, 30)$: $f(10, 30) = 350(10) + 550(30) = 3.500 + 16.500 = 20.000$ € - En $B(35, 15)$: $f(35, 15) = 350(35) + 550(15) = 12.250 + 8.250 = 20.500$ € - En $C(0, 50)$: $f(0, 50) = 350(0) + 550(50) = 0 + 27.500 = 27.500$ € El coste mínimo se obtiene en el punto $A(10, 30)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Debería pedir 10 contenedores al mayorista A y 30 al mayorista B. El coste mínimo será de 20.000 euros.}}$$