Estudio de parámetros y propiedades de una función cuadrática

**a) (1.25 puntos) Determine los valores de $a$ y $b$ sabiendo que su gráfica pasa por el punto (1, 3) y alcanza un extremo local en el punto de abscisa $x = -2$.** Para resolver este apartado, debemos traducir las condiciones dadas en ecuaciones matemáticas: 1. Si la gráfica pasa por el punto $(1, 3)$, significa que cuando $x = 1$, el valor de la función es $f(1) = 3$. 2. Si alcanza un extremo local en $x = -2$, significa que la derivada de la función en ese punto es cero: $f'(-2) = 0$. 💡 **Tip:** Un extremo local (máximo o mínimo) en una función derivable siempre implica que la pendiente de la recta tangente es horizontal, es decir, $f'(x) = 0$.

Primero, calculamos la derivada de $f(x) = 2x^2 + ax + b$: $$f'(x) = 4x + a$$ Aplicamos la condición del extremo local en $x = -2$: $$f'(-2) = 0 \implies 4(-2) + a = 0$$ $$-8 + a = 0 \implies a = 8$$ Ahora aplicamos la condición del punto $(1, 3)$ usando el valor de $a$ obtenido: $$f(1) = 3 \implies 2(1)^2 + a(1) + b = 3$$ $$2 + 8 + b = 3$$ $$10 + b = 3 \implies b = 3 - 10 = -7$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 8, \quad b = -7}$$ *(Nota: Aunque el apartado b propone otros valores, los calculados según las condiciones de este enunciado son estos)*.

**b) (1.25 puntos) Tomando $a = 8$ y $b = -10$ deduzca la curvatura de su gráfica, el valor mínimo que alcanza la función y los valores donde la función se anula.** Trabajamos ahora con la función $f(x) = 2x^2 + 8x - 10$. Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada: $$f'(x) = 4x + 8$$ $$f''(x) = 4$$ Como $f''(x) = 4$ es una constante positiva ($4 \gt 0$) para cualquier valor de $x$, la función es siempre **convexa** (curvatura hacia arriba $\cup$). $$\begin{array}{c|c} x & (-\infty, +\infty) \\ \hline f''(x) & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Convexa } (\cup) \end{array}$$ ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{La función es convexa en todo su dominio } \mathbb{R}}$$

Al ser una parábola con el coeficiente principal positivo ($2 \gt 0$), el extremo local en $x = -2$ (donde $f'(x) = 0$) es necesariamente un **mínimo absoluto**. Calculamos el valor de la función en $x = -2$: $$f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 10$$ $$f(-2) = 2(4) - 16 - 10$$ $$f(-2) = 8 - 16 - 10 = -18$$ 💡 **Tip:** En una función cuadrática $ax^2+bx+c$, si $a \gt 0$ el vértice es un mínimo, y si $a \lt 0$ es un máximo. ✅ **Resultado (Mínimo):** $$\boxed{\text{El valor mínimo es } -18 \text{ y se alcanza en } x = -2}$$

Para hallar dónde se anula la función, resolvemos la ecuación $f(x) = 0$: $$2x^2 + 8x - 10 = 0$$ Podemos simplificar dividiendo toda la ecuación por 2: $$x^2 + 4x - 5 = 0$$ Aplicamos la fórmula general: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$$ $$x = \frac{-4 \pm 6}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ 2. $x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$ ✅ **Resultado (Raíces):** $$\boxed{\text{La función se anula en } x = 1 \text{ y } x = -5}$$