Operaciones con sucesos y probabilidades en el lanzamiento de un dado

**a) (1 punto) Escriba los elementos de cada uno de los siguientes sucesos: $A; B; A^c \cup B; A \cap B^c; (A \cap B)^c.$** En primer lugar, definimos el espacio muestral $E$, que es el conjunto de todos los resultados posibles al lanzar el dado: $$E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$ Ahora, identificamos los elementos de los sucesos básicos dados en el enunciado: - Suceso $A$: "obtener un número mayor que 4". Los números en el dado mayores que 4 son el 5 y el 6. - Suceso $B$: "obtener un número par". Los números pares en el dado son el 2, 4 y 6. Por tanto: $$\boxed{A = \{5, 6\}}$$ $$\boxed{B = \{2, 4, 6\}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el espacio muestral en un dado de seis caras siempre es $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ si no se indica lo contrario.

Para hallar $A^c \cup B$, primero necesitamos determinar el complementario de $A$ ($A^c$), que son todos los elementos de $E$ que no están en $A$: $$A^c = \{1, 2, 3, 4\}$$ Ahora realizamos la unión con $B$. La unión ($\cup$) consiste en juntar todos los elementos de ambos conjuntos sin repetirlos: $$A^c \cup B = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 6\}$$ $$\boxed{A^c \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}}$$

Para hallar $A \cap B^c$, primero necesitamos determinar el complementario de $B$ ($B^c$), que son los números impares: $$B^c = \{1, 3, 5\}$$ La intersección ($\cap$) consiste en seleccionar solo los elementos que están en ambos conjuntos a la vez: $$A \cap B^c = \{5, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \{5\}$$ $$\boxed{A \cap B^c = \{5\}}$$

Primero calculamos la intersección de $A$ y $B$: $$A \cap B = \{5, 6\} \cap \{2, 4, 6\} = \{6\}$$ Ahora hallamos su complementario, es decir, todos los elementos del espacio muestral $E$ excepto el 6: $$(A \cap B)^c = E \setminus \{6\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$ $$\boxed{(A \cap B)^c = \{1, 2, 3, 4, 5\}}$$

**b) (1.5 puntos) Calcule las probabilidades $P(A^c \cap B^c)$ y $P(A^c \cup B^c)$.** Antes de calcular, es muy útil organizar los elementos en una tabla para visualizar las intersecciones: $$\begin{array}{c|cc|c} & B=\{2,4,6\} & B^c=\{1,3,5\} & \text{Total} \\ \hline A=\{5,6\} & \{6\} & \{5\} & 2 \\ A^c=\{1,2,3,4\} & \{2,4\} & \{1,3\} & 4 \\ \hline \text{Total} & 3 & 3 & 6 \end{array}$$ Para calcular $P(A^c \cap B^c)$, observamos que los elementos que no están en $A$ y tampoco están en $B$ son $\{1, 3\}$. Usamos la **Regla de Laplace**: $$P(S) = \frac{\text{Casos favorables}}{\text{Casos posibles}}$$ Existen 2 casos favorables $\{1, 3\}$ de un total de 6 posibles: $$P(A^c \cap B^c) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.3333$$ 💡 **Tip:** También podrías usar las Leyes de De Morgan: $A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$. Como $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$, su complementario es $\{1, 3\}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cap B^c) = \frac{1}{3}}$$

Para calcular $P(A^c \cup B^c)$, podemos usar de nuevo las **Leyes de De Morgan**, que nos dicen que la unión de complementarios es el complementario de la intersección: $$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$$ En el apartado anterior (paso 4), ya calculamos que: $$(A \cap B)^c = \{1, 2, 3, 4, 5\}$$ Este suceso tiene 5 elementos. Aplicando la Regla de Laplace: $$P(A^c \cup B^c) = P((A \cap B)^c) = \frac{5}{6} \approx 0.8333$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre que $P(X^c) = 1 - P(X)$. En este caso, $P((A \cap B)^c) = 1 - P(A \cap B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c \cup B^c) = \frac{5}{6}}$$