Intervalo de confianza para la concentración de proteína

**a) (1.25 puntos) Obtenga un intervalo de confianza, al 96%, para estimar la concentración media de la proteína en sangre de los individuos de esa población.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado: - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.42$ g/dl. - Tamaño de la muestra: $n = 49$. - Media muestral: $\bar{x} = 6.85$ g/dl. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$. Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Si $1 - \alpha = 0.96$, entonces: $$\alpha = 1 - 0.96 = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0, 1)$, encontramos que para una probabilidad de $0.98$, el valor de $z$ es aproximadamente: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.05}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para niveles de confianza habituales, los valores de $z_{\alpha/2}$ suelen ser fijos (ej: 1.96 para 95%, 2.575 para 99%). Para el 96%, el valor exacto está entre 2.05 y 2.06, tomamos 2.05 por ser el más cercano.

El error máximo admisible $E$ se calcula con la fórmula: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 2.05 \cdot \frac{0.42}{\sqrt{49}} = 2.05 \cdot \frac{0.42}{7} = 2.05 \cdot 0.06 = 0.123$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$IC = (6.85 - 0.123, \quad 6.85 + 0.123)$$ $$IC = (6.727, \quad 6.973)$$ ✅ **Resultado (Intervalo al 96%):** $$\boxed{IC = (6.727, \quad 6.973) \text{ g/dl}}$$

**b) (1.25 puntos) ¿Es suficiente el tamaño de esa muestra para obtener un intervalo de confianza, al 98%, con un error menor que 0.125 g/dl?** En este apartado, cambian las condiciones: - Nuevo nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$. - Buscamos $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. Consultando las tablas de la Normal: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ (Nota: Algunos alumnos pueden usar 2.326, pero 2.33 es la aproximación estándar a dos decimales).

Queremos que el error sea menor que $0.125$, es decir, $E \lt 0.125$. Usamos la fórmula del error para despejar el tamaño muestral $n$: $$z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \lt 0.125$$ Sustituimos los valores conocidos: $$2.33 \cdot \frac{0.42}{\sqrt{n}} \lt 0.125 \implies \frac{0.9786}{\sqrt{n}} \lt 0.125$$ Despejamos $\sqrt{n}$: $$\sqrt{n} \gt \frac{0.9786}{0.125} \implies \sqrt{n} \gt 7.8288$$ Elevamos al cuadrado para hallar $n$: $$n \gt (7.8288)^2 \implies n \gt 61.29$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero, el tamaño mínimo necesario es **$n = 62$**. Dado que nuestra muestra actual es de **$n = 49$**, concluimos que **no es suficiente** para garantizar ese error. 💡 **Tip:** Siempre que calcules un tamaño muestral $n$, si el resultado es decimal, redondea siempre al entero superior para garantizar que el error sea menor que el solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es suficiente, se requeriría un tamaño mínimo de } n = 62}$$