Programación Lineal: Región Factible y Optimización

**a) (1 punto) Dibuje el recinto del plano definido por las inecuaciones:** Para dibujar el recinto factible, primero transformamos cada inecuación en una igualdad para obtener las ecuaciones de las rectas que limitan la región: 1. $r_1: x + 3y = 9$ 2. $r_2: 4x - 5y = -25$ 3. $r_3: 7x - 2y = 17$ 4. $r_4: x = 0$ (Eje de ordenadas $Y$) 5. $r_5: y = 0$ (Eje de abscisas $X$) Calculamos un par de puntos por cada recta para poder representarlas: - Para $r_1$: Si $x=0 \Rightarrow y=3$ punto $(0,3)$; si $y=0 \Rightarrow x=9$ punto $(9,0)$. - Para $r_2$: Si $x=0 \Rightarrow y=5$ punto $(0,5)$; si $x=-5 \Rightarrow y=1$ punto $(-5,1)$. - Para $r_3$: Si $x=3 \Rightarrow y=2$ punto $(3,2)$; si $x=1 \Rightarrow y=-5$ punto $(1,-5)$. 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta elegir para la inecuación, toma el punto $(0,0)$ y comprueba si cumple la desigualdad. Por ejemplo, en $x+3y \ge 9$, al sustituir sale $0 \ge 9$, que es falso, por lo que la región está en el semiplano que **no** contiene al origen.

Combinando todas las restricciones, incluyendo que el recinto debe estar en el primer cuadrante ($x \ge 0, y \ge 0$), sombreamos la región común a todos los semiplanos. El recinto resultante es un polígono cerrado (cuadrilátero) situado en el primer cuadrante.

**b) (1 punto) Calcule los vértices del mismo.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en cada esquina del recinto: 1. **Vértice $A$** (Intersección de $r_1$ y $x=0$): $$\begin{cases} x+3y=9 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow 3y=9 \Rightarrow y=3 \Rightarrow \mathbf{A(0,3)}$$ 2. **Vértice $B$** (Intersección de $r_2$ y $x=0$): $$\begin{cases} 4x-5y=-25 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow -5y=-25 \Rightarrow y=5 \Rightarrow \mathbf{B(0,5)}$$ 3. **Vértice $C$** (Intersección de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} x+3y=9 \\ 7x-2y=17 \end{cases} \xrightarrow{x=9-3y} 7(9-3y)-2y=17 \Rightarrow 63-21y-2y=17$$ $$-23y = -46 \Rightarrow y=2 \Rightarrow x=9-3(2)=3 \Rightarrow \mathbf{C(3,2)}$$ 4. **Vértice $D$** (Intersección de $r_2$ y $r_3$): $$\begin{cases} 4x-5y=-25 \\ 7x-2y=17 \end{cases} \xrightarrow{\text{Multiplicamos}} \begin{cases} 8x-10y=-50 \\ -35x+10y=-85 \end{cases} \Rightarrow -27x=-135$$ $$x=5 \Rightarrow 7(5)-2y=17 \Rightarrow 35-17=2y \Rightarrow y=9 \Rightarrow \mathbf{D(5,9)}$$ ✅ **Vértices:** $$\boxed{A(0,3), B(0,5), C(3,2), D(5,9)}$$

**c) (0.5 puntos) Obtenga en dicho recinto los valores máximo y mínimo de la función $F(x, y) = 2x - y + 6$ y los puntos donde se alcanzan.** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función lineal en un recinto poligonal convexo se encuentran en sus vértices. Evaluamos $F(x,y)$ en cada uno de ellos: - $F(A) = F(0,3) = 2(0) - 3 + 6 = 3$ - $F(B) = F(0,5) = 2(0) - 5 + 6 = 1$ - $F(C) = F(3,2) = 2(3) - 2 + 6 = 6 - 2 + 6 = 10$ - $F(D) = F(5,9) = 2(5) - 9 + 6 = 10 - 9 + 6 = 7$ Comparando los resultados: - El valor máximo es **10** y se alcanza en el punto **$(3, 2)$**. - El valor mínimo es **1** y se alcanza en el punto **$(0, 5)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 10 \text{ en } (3,2); \quad \text{Mínimo: } 1 \text{ en } (0,5)}$$