Cálculo de derivadas, asíntotas y puntos de corte

**a) (1.5 puntos) Calcule las derivadas de las siguientes funciones: $f(x) = \left( \frac{2 - 5x}{3} \right)^2 + \frac{1 - 2x}{x^2}$** Para derivar $f(x)$, observamos que es la suma de dos términos. Derivaremos cada uno de ellos por separado: 1. Para el primer término, $\left( \frac{2 - 5x}{3} \right)^2$, aplicamos la **regla de la cadena** ($[u^n]' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$): $$\left[ \left( \frac{2 - 5x}{3} \right)^2 \right]' = 2 \cdot \left( \frac{2 - 5x}{3} \right)^1 \cdot \left( \frac{-5}{3} \right) = -\frac{10(2 - 5x)}{9}$$ 2. Para el segundo término, $\frac{1 - 2x}{x^2}$, aplicamos la **regla del cociente** ($\left[ \frac{u}{v} \right]' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$): $$\left[ \frac{1 - 2x}{x^2} \right]' = \frac{(-2)(x^2) - (1 - 2x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{-2x^2 - (2x - 4x^2)}{x^4} = \frac{-2x^2 - 2x + 4x^2}{x^4} = \frac{2x^2 - 2x}{x^4}$$ Simplificando la fracción (dividiendo entre $x$): $$\frac{2x(x - 1)}{x^4} = \frac{2x - 2}{x^3}$$ Sumamos ambos resultados: $$f'(x) = -\frac{10(2 - 5x)}{9} + \frac{2x - 2}{x^3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al derivar una constante por una función como $\frac{2-5x}{3}$, puedes verla como $\frac{1}{3}(2-5x)$, por lo que su derivada es simplemente $\frac{1}{3}(-5) = -\frac{5}{3}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f'(x) = \frac{50x - 20}{9} + \frac{2x - 2}{x^3}}$$

Ahora derivamos la función **$g(x) = (3x + 2)^2 \cdot \ln(1 + x^2)$**. Esta función es un producto de dos funciones, por lo que aplicamos la **regla del producto** ($(u \cdot v)' = u'v + uv'$): - Sea $u = (3x + 2)^2 \implies u' = 2(3x + 2) \cdot 3 = 6(3x + 2)$ - Sea $v = \ln(1 + x^2) \implies v' = \frac{2x}{1 + x^2}$ Aplicando la fórmula: $$g'(x) = [6(3x + 2)] \cdot \ln(1 + x^2) + (3x + 2)^2 \cdot \left[ \frac{2x}{1 + x^2} \right]$$ Podemos sacar factor común $(3x + 2)$ para simplificar la expresión: $$g'(x) = (3x + 2) \left[ 6 \ln(1 + x^2) + \frac{2x(3x + 2)}{1 + x^2} \right]$$ 💡 **Tip:** La derivada del logaritmo neperiano es $[\ln(u)]' = \frac{u'}{u}$. No olvides multiplicar por la derivada de lo de dentro (regla de la cadena). ✅ **Resultado:** $$\boxed{g'(x) = 6(3x + 2) \ln(1 + x^2) + \frac{2x(3x + 2)^2}{1 + x^2}}$$

**b) (1 punto) Halle las asíntotas y los puntos de corte con los ejes de $h(x) = \frac{1 + 2x}{x - 2}$.** Primero, calculamos los puntos de corte: 1. **Corte con el eje OY (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$h(0) = \frac{1 + 2(0)}{0 - 2} = \frac{1}{-2} = -0.5$$ El punto de corte es **$(0, -0.5)$**. 2. **Corte con el eje OX (eje de abscisas):** Hacemos $h(x) = 0$. $$\frac{1 + 2x}{x - 2} = 0 \implies 1 + 2x = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ El punto de corte es **$(-0.5, 0)$**. 💡 **Tip:** Para que una fracción sea cero, basta con igualar el numerador a cero (siempre que ese valor no anule también al denominador). ✅ **Resultado (Cortes):** $$\boxed{\text{Corte OY: } (0, -0.5); \quad \text{Corte OX: } (-0.5, 0)}$$

Calculamos las asíntotas de la función racional $h(x) = \frac{1 + 2x}{x - 2}$: **1. Asíntota Vertical (AV):** Se encuentran en los valores que anulan el denominador pero no el numerador. El denominador $x - 2 = 0$ cuando $x = 2$. Comprobamos el límite: $$\lim_{x \to 2} \frac{1 + 2x}{x - 2} = \frac{5}{0} = \infty$$ Existe una **asíntota vertical en $x = 2$**. **2. Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite cuando $x$ tiende a infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + 2x}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x} = 2$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 2$**. **3. Asíntota Oblicua (AO):** Como existe asíntota horizontal tanto por la derecha como por la izquierda en una función racional, **no existe asíntota oblicua**. 💡 **Tip:** En funciones racionales (polinomio entre polinomio), si el grado del numerador es igual al grado del denominador, la AH es el cociente de los coeficientes principales. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: } x = 2, \quad \text{AH: } y = 2, \quad \text{AO: No hay}}$$