Probabilidad y Estadística 2010 Andalucia
Probabilidad condicionada: Sistema de alarma
EJERCICIO 3
Una fábrica posee un sistema de alarma contra robos. Por estudios previos a la instalación del sistema se sabe que la probabilidad de que un día se produzca un robo en la fábrica es 0.08.
Las indicaciones técnicas del fabricante de la alarma dicen que la probabilidad de que suene si se ha producido un robo es 0.98, y de que suene si no ha habido robo es 0.03.
a) (1.25 puntos) En un día cualquiera calcule la probabilidad de que no suene la alarma.
b) (1.25 puntos) Si suena la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no sea debido a un robo?
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
**a) (1.25 puntos) En un día cualquiera calcule la probabilidad de que no suene la alarma.**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema para poder trabajar con claridad:
- $R$: "Se produce un robo en la fábrica".
- $\bar{R}$: "No se produce un robo en la fábrica".
- $S$: "Suena la alarma".
- $\bar{S}$: "No suena la alarma".
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(R) = 0.08 \implies P(\bar{R}) = 1 - 0.08 = 0.92$
- $P(S|R) = 0.98$ (Probabilidad de que suene si hay robo)
- $P(S|\bar{R}) = 0.03$ (Probabilidad de que suene si no hay robo)
A partir de las probabilidades condicionadas, podemos obtener sus complementarios:
- $P(\bar{S}|R) = 1 - 0.98 = 0.02$ (Probabilidad de que no suene habiendo robo)
- $P(\bar{S}|\bar{R}) = 1 - 0.03 = 0.97$ (Probabilidad de que no suene si no hay robo)
Organizamos toda esta información en un **diagrama de árbol**:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de que no suene la alarma
Para calcular $P(\bar{S})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. La alarma no suena en dos casos: si hay un robo y falla, o si no hay un robo y funciona correctamente.
La fórmula es:
$$P(\bar{S}) = P(R) \cdot P(\bar{S}|R) + P(\bar{R}) \cdot P(\bar{S}|\bar{R})$$
Sustituimos los valores obtenidos en el paso anterior:
$$P(\bar{S}) = (0.08 \cdot 0.02) + (0.92 \cdot 0.97)$$
$$P(\bar{S}) = 0.0016 + 0.8924 = 0.894$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas finales de un árbol siempre debe ser 1.
✅ **Resultado (Apartado a):**
$$\boxed{P(\bar{S}) = 0.894}$$
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Falsa alarma)
**b) (1.25 puntos) Si suena la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no sea debido a un robo?**
Se nos pide calcular una probabilidad a posteriori: la probabilidad de que no haya habido un robo dado que la alarma ha sonado, es decir, $P(\bar{R}|S)$.
Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(\bar{R}|S) = \frac{P(\bar{R} \cap S)}{P(S)} = \frac{P(\bar{R}) \cdot P(S|\bar{R})}{P(S)}$$
Primero, necesitamos $P(S)$. Como sabemos que $P(\bar{S}) = 0.894$, podemos calcular $P(S)$ por el suceso contrario:
$$P(S) = 1 - P(\bar{S}) = 1 - 0.894 = 0.106$$
Ahora calculamos el numerador $P(\bar{R} \cap S)$:
$$P(\bar{R} \cap S) = 0.92 \cdot 0.03 = 0.0276$$
Finalmente, aplicamos la fórmula de Bayes:
$$P(\bar{R}|S) = \frac{0.0276}{0.106} \approx 0.2604$$
💡 **Tip:** Este valor representa la probabilidad de "falsa alarma", es decir, que la alarma suene sin que se esté produciendo un robo real.
✅ **Resultado (Apartado b):**
$$\boxed{P(\bar{R}|S) \approx 0.2604}$$