Contraste de hipótesis para la media

**a) (0.5 puntos) Determine las hipótesis del contraste que se plantea en este enunciado.** En primer lugar, definimos la variable aleatoria $X$ como el peso de los sacos de patatas, la cual sigue una distribución normal $X \sim N(\mu, \sigma = 0.25)$. El enunciado nos dice que el agente afirma que el peso medio "no baja de 5 kg", es decir, $\mu \ge 5$. Esta afirmación será nuestra hipótesis nula ($H_0$), ya que es la hipótesis que queremos contrastar frente a la sospecha de que el peso sea inferior. Las hipótesis del contraste son: - Hipótesis nula: $H_0: \mu \ge 5$ (El peso medio es al menos 5 kg). - Hipótesis alternativa: $H_1: \mu < 5$ (El peso medio es inferior a 5 kg). 💡 **Tip:** Estamos ante un **contraste unilateral izquierdo**, ya que la sospecha de incumplimiento de la afirmación del agente se sitúa en los valores pequeños de la media. $$\boxed{H_0: \mu \ge 5; \quad H_1: \mu < 5}$$

**b) (1 punto) Halle la región crítica de este contraste para $\alpha = 0.01$.** Para hallar la región crítica, necesitamos conocer cómo se distribuye la media de las muestras de tamaño $n=20$. Sabemos que si la población es $N(\mu, \sigma)$, la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ Bajo la suposición de que $H_0$ es cierta (tomando el valor crítico $\mu_0 = 5$): - Media poblacional: $\mu_0 = 5$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.25$ - Tamaño de la muestra: $n = 20$ - Error estándar de la media: $\sigma_{\bar{x}} = \frac{0.25}{\sqrt{20}} = \frac{0.25}{4.4721} \approx 0.0559$ Por tanto: $\bar{X} \sim N(5, 0.0559)$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.01$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que la probabilidad a su izquierda sea $0.01$. $$P(Z < -z_{\alpha}) = 0.01 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 0.99$$ Buscando en las tablas de la distribución normal estándar $N(0,1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $0.99$, encontramos que: $$z_{\alpha} \approx 2.33$$ Por lo tanto, el valor crítico en la escala estandarizada es **$-2.33$**. 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la región crítica es el conjunto de valores de la muestra que nos llevan a rechazar la hipótesis nula.

Ahora transformamos el valor crítico $z = -2.33$ a la escala de nuestra variable $\bar{X}$ usando la fórmula de la estandarización: $$z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \implies -2.33 = \frac{\bar{x} - 5}{0.0559}$$ Despejamos el valor de la media muestral límite ($x_c$): $$x_c = 5 - 2.33 \cdot 0.0559$$ $$x_c = 5 - 0.1302 = 4.8698$$ La región crítica ($RC$) está formada por todos los valores de la media muestral menores que $4.8698$. ✅ **Resultado (Región Crítica):** $$\boxed{RC = (-\infty, 4.8698)}$$

**c) (1 punto) Con los datos de la muestra tomada, ¿puede decirse que existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis del agente de ventas de la cooperativa, al nivel de significación $\alpha = 0.01$?** Disponemos de un valor observado para la media muestral de $\bar{x}_{obs} = 4.8$ kg. Comparamos este valor con la región crítica calculada en el apartado anterior: - Valor observado: $4.8$ - Región Crítica: $(-\infty, 4.8698)$ Como $4.8 < 4.8698$, el valor de la muestra **cae dentro de la región crítica**. Esto significa que el resultado es lo suficientemente alejado de la media supuesta ($5$ kg) como para no ser atribuido al azar con un $99\%$ de confianza. Por lo tanto, rechazamos la hipótesis nula $H_0$. 💡 **Tip:** Si el estadístico de contraste pertenece a la región crítica, se rechaza la hipótesis nula. Si no pertenece, no hay evidencias para rechazarla. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{Sí, existe evidencia estadística suficiente para rechazar la hipótesis del agente.}}$$