Estimación de la media poblacional. Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Obtener un intervalo de confianza para el tiempo medio con una confianza del 90%.** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 60$ - Media muestral: $\bar{x} = 23 \text{ min}$ - Desviación típica (poblacional o de la muestra grande): $\sigma = 7 \text{ min}$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.90$ Para calcular el intervalo de confianza, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ correspondiente al $90\%$. Si $1 - \alpha = 0.90$, entonces $\alpha = 0.10$ y $\alpha/2 = 0.05$. Buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.05 = 0.95$$ Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$, observamos que el valor $0.95$ está entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.645}$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ define el área central de la distribución normal que contiene el nivel de confianza deseado.

La fórmula del error máximo admisible para la media es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.645 \cdot \frac{7}{\sqrt{60}} = 1.645 \cdot \frac{7}{7.7459} \approx 1.645 \cdot 0.9037 = 1.4866$$ El intervalo de confianza se define como $(\bar{x} - E, \bar{x} + E)$: $$I.C. = (23 - 1.4866, 23 + 1.4866)$$ $$I.C. = (21.5134, 24.4866)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el intervalo de confianza nos da un rango de valores entre los cuales se encuentra el verdadero tiempo medio de la población con una probabilidad del 90%. ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (21.51, 24.49)}$$

**b) ¿Qué tamaño muestral sería necesario tomar para estimar el tiempo medio con un error inferior a 1.5 minutos y con una confianza del 98%.** En este apartado cambian las condiciones: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02 \implies \alpha/2 = 0.01$ - Error máximo: $E \lt 1.5$ - Desviación típica: $\sigma = 7$ Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que más se aproxima a $0.99$ de probabilidad acumulada es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2.33}$$ 💡 **Tip:** A mayor confianza requerida, mayor será el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, mayor será el tamaño de la muestra necesario para mantener un error pequeño.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores con el límite del error $E = 1.5$: $$n = \left( \frac{2.33 \cdot 7}{1.5} \right)^2$$ $$n = \left( \frac{16.31}{1.5} \right)^2 = (10.8733)^2 \approx 118.23$$ Para asegurar que el error sea **inferior** a $1.5$, debemos tomar el primer número entero superior a este resultado: $$n \ge 119$$ 💡 **Tip:** En los ejercicios de tamaño muestral, siempre redondeamos al alza hacia el siguiente entero para garantizar que se cumple la restricción del error. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 119 \text{ alumnos}}$$