Distribución binomial y aproximación a la normal

**a) ¿Cuántos se espera que suspendan?** Primero definimos la variable aleatoria. Sea $X$ el número de personas que aprueban el examen de entre las 180 que se presentan. Estamos ante una distribución Binomial, ya que cada persona tiene una probabilidad fija de aprobar ($p$) y los resultados son independientes entre sí. Datos: - $n = 180$ (número de personas). - $p = 0.65$ (probabilidad de aprobar). - $q = 1 - p = 0.35$ (probabilidad de suspender). Por tanto, $X \sim B(180, \, 0.65)$. Para calcular cuántos se espera que suspendan, calculamos la esperanza matemática (media) de los que suspenden. Si $X$ son los aprobados, llamemos $Y$ a los suspensos, donde $Y \sim B(180, \, 0.35)$: $$E[Y] = n \cdot q = 180 \cdot 0.35 = 63.$$ 💡 **Tip:** El valor esperado o "lo que se espera que ocurra" en una distribución binomial se calcula siempre con la fórmula $\mu = n \cdot p$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{63 \text{ personas se espera que suspendan}}$$

Para los apartados b) y c), como el número de personas ($n=180$) es muy grande, trabajar con la fórmula de la binomial sería muy complejo. Comprobamos si podemos aproximar a una Normal: 1. $n \cdot p = 180 \cdot 0.65 = 117 > 5$ 2. $n \cdot q = 180 \cdot 0.35 = 63 > 5$ Como se cumplen ambas condiciones, aproximamos $X \sim B(180, \, 0.65)$ a una normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$: - $\mu = n \cdot p = 117$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{180 \cdot 0.65 \cdot 0.35} = \sqrt{40.95} \approx 6.40$ Por tanto, usaremos $X' \sim N(117, \, 6.40)$ para los cálculos. 💡 **Tip:** No olvides que al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal) debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates** (sumar o restar $0.5$).

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben al menos 110?** Queremos calcular $P(X \ge 110)$. Aplicando la corrección de continuidad: $$P(X \ge 110) \approx P(X' \ge 109.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal $N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{109.5 - 117}{6.40}\right) = P(Z \ge -1.17)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \ge -1.17) = P(Z \le 1.17)$$ Buscamos el valor $1.17$ en la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.17) = 0.8790$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 110) = 0.8790}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que aprueben como mínimo 100 y como máximo 115?** Queremos calcular $P(100 \le X \le 115)$. Aplicamos la corrección de continuidad en ambos extremos (ampliamos el intervalo $0.5$ hacia afuera): $$P(99.5 \le X' \le 115.5)$$ Tipificamos ambos valores: $$Z_1 = \frac{99.5 - 117}{6.40} = -2.73$$ $$Z_2 = \frac{115.5 - 117}{6.40} = -0.23$$ Calculamos la probabilidad del intervalo: $$P(-2.73 \le Z \le -0.23) = P(Z \le -0.23) - P(Z \le -2.73)$$ Como ambos valores son negativos, transformamos usando $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$: $$[1 - P(Z \le 0.23)] - [1 - P(Z \le 2.73)] = P(Z \le 2.73) - P(Z \le 0.23)$$ Buscamos en la tabla: - $P(Z \le 2.73) = 0.9968$ - $P(Z \le 0.23) = 0.5910$ Restamos: $$0.9968 - 0.5910 = 0.4058$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(100 \le X \le 115) = 0.4058}$$