Optimización de beneficios en la producción de juguetes

**a) Plantear la función de ingresos que obtiene el taller con la venta de los juguetes producidos.** Primero, definimos la variable de estudio: - $x$: número de juguetes fabricados y vendidos. Los ingresos, $I(x)$, se calculan multiplicando el precio de venta unitario por la cantidad de unidades vendidas. Según el enunciado, cada juguete se vende a 80€, por lo tanto: $$I(x) = \text{precio} \cdot \text{cantidad}$$ $$I(x) = 80 \cdot x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ingreso siempre es $P \cdot x$, mientras que el beneficio es el ingreso menos lo que ha costado producirlo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{I(x) = 80x}$$

**b) Plantear la función de beneficios, entendidos como diferencia entre ingresos y costes de fabricación.** El beneficio $B(x)$ se define como la diferencia entre la función de ingresos $I(x)$ y la función de costes $C(x)$: $$B(x) = I(x) - C(x)$$ Sustituimos las expresiones de ambos apartados (teniendo mucho cuidado con el signo menos delante del paréntesis de la función de costes): $$B(x) = 80x - \left( \frac{x^2}{10} + 20x + 250 \right)$$ $$B(x) = 80x - \frac{x^2}{10} - 20x - 250$$ Agrupamos los términos semejantes ($80x - 20x = 60x$): $$B(x) = -\frac{x^2}{10} + 60x - 250$$ 💡 **Tip:** Al restar funciones, asegúrate de cambiar el signo a todos los términos de la función que restas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B(x) = -0,1x^2 + 60x - 250}$$

**c) ¿Cuántos juguetes debe fabricar para maximizar beneficios? ¿A cuánto ascenderán estos beneficios?** Para maximizar una función, debemos calcular su primera derivada $B'(x)$ e igualarla a cero para encontrar los puntos críticos. Partimos de $B(x) = -0,1x^2 + 60x - 250$. Derivamos: $$B'(x) = -0,2x + 60$$ Igualamos la derivada a cero: $$-0,2x + 60 = 0$$ $$60 = 0,2x$$ $$x = \frac{60}{0,2} = 300$$ El valor crítico obtenido es **$x = 300$** juguetes. 💡 **Tip:** Para derivar una potencia $ax^n$, la derivada es $n \cdot a \cdot x^{n-1}$. Aquí, $2 \cdot (-0,1) = -0,2$.

Para confirmar que en $x = 300$ hay un máximo, estudiamos el signo de la derivada o usamos la segunda derivada: **Método de la segunda derivada:** $$B''(x) = -0,2$$ Como $B''(300) = -0,2 \lt 0$, confirmamos que se trata de un **máximo relativo**. También podemos ver la monotonía con la tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 300) & 300 & (300, +\infty)\\ \hline B'(x) & + & 0 & -\\ \hline B(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Finalmente, calculamos el beneficio máximo sustituyendo $x = 300$ en la función $B(x)$: $$B(300) = -0,1(300)^2 + 60(300) - 250$$ $$B(300) = -0,1(90000) + 18000 - 250$$ $$B(300) = -9000 + 18000 - 250 = 8750$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 300 juguetes para un beneficio máximo de 8750€}}$$