Rendimiento de maquinaria fotográfica

**a) Estudiar la continuidad de la función $f(x)$.** Para estudiar la continuidad de una función definida a trozos, primero analizamos cada rama de forma individual y luego el punto de salto entre ellas ($x=5$). 1. En el intervalo $[0, 5)$, la función $f(x) = 15.5 - 1.1x$ es una función polinómica de primer grado, por lo que es **continua** en todo su dominio. 2. En el intervalo $(5, +\infty)$, la función $f(x) = \frac{5x + 45}{x + 2}$ es una función racional. Su único punto de discontinuidad sería $x = -2$ (donde el denominador se anula), pero como $-2$ no pertenece al intervalo $(5, +\infty)$, la función es **continua** en este tramo. 💡 **Tip:** Una función racional es continua en todo su dominio excepto en los valores de $x$ que hacen que el denominador sea cero.

Para que la función sea continua en $x = 5$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función en ese punto: 1. **Valor de la función:** $$f(5) = 15.5 - 1.1(5) = 15.5 - 5.5 = 10$$ 2. **Límite por la izquierda ($x \to 5^-$):** $$\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^-} (15.5 - 1.1x) = 15.5 - 5.5 = 10$$ 3. **Límite por la derecha ($x \to 5^+$):** $$\lim_{x \to 5^+} f(x) = \lim_{x \to 5^+} \frac{5x + 45}{x + 2} = \frac{5(5) + 45}{5 + 2} = \frac{25 + 45}{7} = \frac{70}{7} = 10$$ Como $\lim_{x \to 5^-} f(x) = \lim_{x \to 5^+} f(x) = f(5) = 10$, la función es continua en $x = 5$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en todo su dominio } [0, +\infty)}$$

**b) Comprobar que el número de fotografías por minuto decrece con la antigüedad de la máquina.** Para comprobar si la función es decreciente, calculamos su derivada $f'(x)$ en cada tramo: 1. Para $0 \le x \lt 5$: $$f'(x) = (15.5 - 1.1x)' = -1.1$$ Como $f'(x) = -1.1 \lt 0$, la función es **estrictamente decreciente** en este intervalo. 2. Para $x \gt 5$, usamos la regla de la derivada del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $$f'(x) = \frac{5(x+2) - (5x+45)(1)}{(x+2)^2} = \frac{5x + 10 - 5x - 45}{(x+2)^2} = \frac{-35}{(x+2)^2}$$ Dado que $(x+2)^2$ siempre es positivo para $x > 5$ y el numerador es $-35$, entonces $f'(x) \lt 0$ para todo $x \gt 5$. Por tanto, es **estrictamente decreciente**. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|cc} x & (0,5) & (5,+\infty)\\\hline f'(x) & - & -\\\hline f(x) & \searrow & \searrow \end{array}$$ Como la función es continua en $x=5$ y decrece en ambos tramos, decrece en todo su dominio. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es decreciente para todo } x \ge 0}$$

**c) Justificar que, si tiene más de 5 años, revelará menos de 10 fotografías por minuto.** Podemos justificarlo de dos formas: 1. **Por monotonía:** En el apartado anterior hemos demostrado que $f(x)$ es estrictamente decreciente. Como $f(5) = 10$, para cualquier valor de $x \gt 5$, se cumplirá que $f(x) \lt f(5)$, es decir, $f(x) \lt 10$. 2. **Mediante el estudio del segundo tramo:** Si $x \gt 5$, queremos ver si $\frac{5x + 45}{x + 2} \lt 10$. $$5x + 45 \lt 10(x + 2) \implies 5x + 45 \lt 10x + 20$$ $$45 - 20 \lt 10x - 5x \implies 25 \lt 5x \implies 5 \lt x$$ La desigualdad se cumple siempre que $x \gt 5$. 💡 **Tip:** En funciones estrictamente decrecientes, si $a \lt b$ entonces $f(a) \gt f(b)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } x \gt 5, \text{ entonces } f(x) \lt 10 \text{ fotografías/min}}$$

**d) Por muy vieja que sea la máquina, ¿cuántas fotografías revelará por minuto?** Esta pregunta nos pide calcular el límite de la función cuando el tiempo $x$ tiende a infinito ($x \to +\infty$). Para ello, usamos el segundo tramo de la función: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 45}{x + 2}$$ Como es un límite al infinito de una función racional con el mismo grado en el numerador y el denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x + 45}{x + 2} = \frac{5}{1} = 5$$ Esto significa que la función tiene una asíntota horizontal en $y = 5$. Por muy vieja que sea la máquina, su rendimiento tenderá a estabilizarse en 5 fotografías por minuto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{5 \text{ fotografías por minuto}}$$