Sistema de ecuaciones: Problema de trabajadores

**a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones.** Primero, definimos las variables que representarán el número de trabajadores de cada grupo: - $x$: número de trabajadores canarios. - $y$: número de trabajadores peninsulares. - $z$: número de trabajadores extranjeros. Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El total es de 250: $x + y + z = 250$ 2. Si se triplica el número de extranjeros ($3z$), el total sería 330: $x + y + 3z = 330$ 3. Si se duplica el número de canarios ($2x$) y se reduce a la mitad el de peninsulares ($\frac{1}{2}y$), el total sería 325: $2x + \frac{1}{2}y + z = 325$ 💡 **Tip:** Para trabajar con mayor comodidad, podemos multiplicar la tercera ecuación por 2 para eliminar la fracción: $4x + y + 2z = 650$. El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + y + z = 250 \\ x + y + 3z = 330 \\ 4x + y + 2z = 650 \end{cases}$$ ✅ **Resultado (sistema planteado):** $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 250 \\ x + y + 3z = 330 \\ 4x + y + 2z = 650 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuantos trabajadores hay de cada grupo?** Podemos resolver el sistema por el método de reducción. Si restamos la primera ecuación a la segunda, eliminaremos $x$ e $y$ directamente: $$(x + y + 3z) - (x + y + z) = 330 - 250$$ $$2z = 80$$ $$z = \frac{80}{2}$$ $$z = 40$$ 💡 **Tip:** La resta de ecuaciones es muy útil cuando dos ecuaciones comparten casi todos los coeficientes iguales, como ocurre aquí con $x$ e $y$. $$\boxed{z = 40\text{ extranjeros}}$$

Ahora sustituimos $z = 40$ en la primera y en la tercera ecuación para obtener un sistema de dos incógnitas ($x$ e $y$): Sustituyendo en $x + y + z = 250$: $$x + y + 40 = 250 \implies x + y = 210$$ Sustituyendo en $4x + y + 2z = 650$: $$4x + y + 2(40) = 650 \implies 4x + y + 80 = 650 \implies 4x + y = 570$$ Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} x + y = 210 \\ 4x + y = 570 \end{cases}$$

Restamos la primera ecuación de la segunda para eliminar la variable $y$: $$(4x + y) - (x + y) = 570 - 210$$ $$3x = 360$$ $$x = \frac{360}{3}$$ $$x = 120$$ Ahora, calculamos $y$ usando la relación $x + y = 210$: $$120 + y = 210$$ $$y = 210 - 120$$ $$y = 90$$ ✅ **Resultado (número de trabajadores):** $$\boxed{\text{Canarios: } 120, \text{ Peninsulares: } 90, \text{ Extranjeros: } 40}$$

**c) Si se incrementara un 15% el número de canarios y se redujera un 10% el número de extranjeros, ¿cuántos trabajadores habría en la empresa?** Calculamos los nuevos valores basándonos en los resultados del apartado anterior: 1. **Nuevo número de canarios:** Un incremento del 15% equivale a multiplicar por $1.15$: $$120 \cdot 1.15 = 138$$ 2. **Nuevo número de extranjeros:** Una reducción del 10% equivale a multiplicar por $0.90$: $$40 \cdot 0.90 = 36$$ 3. **Número de peninsulares:** No se menciona cambio, por lo que sigue siendo $90$. Calculamos el total final sumando los tres grupos: $$\text{Total} = 138 + 90 + 36 = 264$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para incrementar un porcentaje $p\%$ se multiplica por $(1 + p/100)$ y para reducirlo por $(1 - p/100)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Habría } 264 \text{ trabajadores en la empresa}}$$