Distribución Normal: Salarios netos

**a) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea de, al menos, 800 euros?** Primero definimos la variable aleatoria $X$ que representa el salario neto de un trabajador: $$X \sim N(\mu, \sigma) \implies X \sim N(950, 125)$$ Donde la media $\mu = 950$ y la desviación típica $\sigma = 125$. Para calcular probabilidades en una distribución normal, debemos **tipificar** la variable para pasar a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Nos piden la probabilidad de que el salario sea de al menos 800 euros, es decir, $P(X \ge 800)$: $$P(X \ge 800) = P\left(Z \ge \frac{800 - 950}{125}\right) = P\left(Z \ge \frac{-150}{125}\right) = P(Z \ge -1.2)$$ Por la simetría de la campana de Gauss, la probabilidad de que $Z$ sea mayor que un valor negativo es igual a la probabilidad de que sea menor que su valor positivo correspondiente: $$P(Z \ge -1.2) = P(Z \le 1.2)$$ Buscamos el valor $1.2$ en la tabla de la distribución $N(0, 1)$: $$P(Z \le 1.2) = 0.8849$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "al menos" significa $\ge$. Cuando tipificamos, si el área queda a la derecha de un valor negativo, por simetría es lo mismo que el área a la izquierda del valor positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 800) = 0.8849}$$

**b) ¿Cuál es probabilidad de que, elegido un trabajador, su salario neto sea mayor que 700 euros y, como máximo, igual a 1100?** Nos piden calcular la probabilidad en el intervalo $700 \lt X \le 1100$. Tipificamos ambos valores: 1. Para $x = 700$: $z_1 = \frac{700 - 950}{125} = \frac{-250}{125} = -2$ 2. Para $x = 1100$: $z_2 = \frac{1100 - 950}{125} = \frac{150}{125} = 1.2$ Entonces: $$P(700 \lt X \le 1100) = P(-2 \lt Z \le 1.2)$$ Para calcular la probabilidad entre dos valores, restamos las probabilidades acumuladas: $$P(-2 \lt Z \le 1.2) = P(Z \le 1.2) - P(Z \le -2)$$ Sabemos que $P(Z \le -2) = 1 - P(Z \le 2)$ por las propiedades de la normal estándar. Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 1.2) = 0.8849$ - $P(Z \le 2) = 0.9772$ Sustituimos: $$P(-2 \lt Z \le 1.2) = 0.8849 - (1 - 0.9772) = 0.8849 - 0.0228 = 0.8621$$ 💡 **Tip:** En una distribución continua como la Normal, el uso de $\lt$ o $\le$ no afecta al valor de la probabilidad puntual, ya que $P(X=k)=0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(700 \lt X \le 1100) = 0.8621}$$

**c) Si se seleccionan 675 trabajadores, ¿cuántos se espera que tengan un salario neto de, al menos, 1000 euros?** Primero calculamos la probabilidad de que un trabajador individual gane al menos 1000 euros, $P(X \ge 1000)$: Tipificamos: $$z = \frac{1000 - 950}{125} = \frac{50}{125} = 0.4$$ $$P(X \ge 1000) = P(Z \ge 0.4) = 1 - P(Z \le 0.4)$$ Buscamos $0.4$ en la tabla: $$P(Z \le 0.4) = 0.6554$$ $$P(X \ge 1000) = 1 - 0.6554 = 0.3446$$ Ahora, para hallar el número esperado de trabajadores en un grupo de $n = 675$, multiplicamos el tamaño de la muestra por la probabilidad individual: $$E = n \cdot p = 675 \cdot 0.3446 = 232.605$$ Como estamos contando personas, redondeamos al número entero más cercano. 💡 **Tip:** El valor esperado o esperanza en este contexto es simplemente el total de la muestra multiplicado por la probabilidad del suceso. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se espera que } 233 \text{ trabajadores tengan ese salario}}$$