Inferencia estadística: contraste de hipótesis y el intervalo de confianza para la proporción

**a) A partir de los datos recogidos para la muestra, ¿se puede afirmar, con un nivel de significación del 5%, que la proporción de universitarios que van a clase en transporte público es, al menos, igual a 2/3?** Primero, extraemos los datos de la muestra de tamaño $n$: - Tamaño de la muestra: $n = 576$ - Estudiantes que usan transporte público: $x = 400$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{x}{n} = \dfrac{400}{576} = \dfrac{25}{36} \approx 0.6944$ Queremos contrastar si la proporción poblacional $p$ es, al menos, $2/3$. Planteamos el contraste de hipótesis: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $p \ge 2/3 \approx 0.6667$ (La proporción es al menos $2/3$) - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $p \lt 2/3$ (La proporción es menor que $2/3$) Se trata de un contraste **unilateral a la izquierda** con un nivel de significación $\alpha = 0.05$. 💡 **Tip:** En un contraste de "al menos", la duda o lo que queremos comprobar como falso es que sea menor, por eso la región de rechazo se sitúa en la cola inferior.

Bajo la suposición de que $H_0$ es cierta (usando $p_0 = 2/3$), el estadístico de contraste para una proporción sigue una distribución normal $N(0,1)$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Calculamos los valores necesarios: - $p_0 = 2/3 \approx 0.6667$ - $1 - p_0 = 1/3 \approx 0.3333$ - Error estándar: $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{(2/3) \cdot (1/3)}{576}} = \sqrt{\dfrac{2/9}{576}} = \sqrt{\dfrac{2}{5184}} \approx 0.0196$ Sustituimos en la fórmula de $Z$: $$Z_{calc} = \frac{0.6944 - 0.6667}{0.0196} = \frac{0.0277}{0.0196} \approx 1.413$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que la aproximación a la normal sea válida, se debe cumplir $n \cdot p \ge 5$ y $n \cdot (1-p) \ge 5$. En este caso, $576 \cdot 0.66 \approx 384$, lo cual es muy superior a 5.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.05$ en un contraste unilateral izquierdo, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.05$. Mirando en la tabla de la Normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad acumulada de $0.95$, el valor es $1.645$. Por simetría, nuestro valor crítico es: $$-z_{0.05} = -1.645$$ **Regla de decisión:** - Rechazamos $H_0$ si $Z_{calc} \lt -1.645$. - En nuestro caso, $Z_{calc} = 1.413$. Como $1.413 \gt -1.645$, el valor cae fuera de la región de rechazo (está en la zona de aceptación). Por tanto, no hay evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se puede afirmar que la proporción es, al menos, igual a 2/3 al 5% de significación.}}$$

**b) Con una confianza del 98%, determinar un intervalo de confianza para la proporción de universitarios que van a clase en transporte público.** Para el intervalo de confianza de la proporción, necesitamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$. Datos: - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$ - Significancia en cada cola: $\alpha/2 = 0.01$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$. En las tablas de la distribución Normal estándar: - Para $0.9898 \to z = 2.32$ - Para $0.9901 \to z = 2.33$ Tomamos el valor más cercano o aproximado: **$z_{\alpha/2} = 2.33$**. 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la proporción utiliza la fórmula: $I = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right)$.

Utilizamos la proporción muestral $\hat{p} \approx 0.6944$ para calcular el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.6944 \cdot (1 - 0.6944)}{576}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.6944 \cdot 0.3056}{576}} = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.2122}{576}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{0.0003684} = 2.33 \cdot 0.0192 \approx 0.0447$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $\hat{p} - E = 0.6944 - 0.0447 = 0.6497$ - Límite superior: $\hat{p} + E = 0.6944 + 0.0447 = 0.7391$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I = (0.6497, 0.7391)}$$