Inferencia estadística: Intervalos de confianza para la media

**a) ¿Cuál es la media muestral de horas a la semana que los televidentes menores de 16 años dedican a ver programas de animación?** El intervalo de confianza para la media poblacional tiene la forma $[\bar{x} - E, \bar{x} + E]$, donde $\bar{x}$ es la media muestral y $E$ es el error máximo admisible. Dado que el intervalo es $[9, 11]$, la media muestral $\bar{x}$ se encuentra exactamente en el punto medio del intervalo: $$\bar{x} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$$ 💡 **Tip:** La media muestral siempre coincide con el centro del intervalo de confianza. El error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 10 \text{ horas}}$$

Para resolver el apartado b), primero necesitamos extraer la información del intervalo dado al 99%. Datos conocidos: - Tamaño de la muestra: $n = 49$ - Intervalo de confianza (99%): $[9, 11]$ - Media muestral: $\bar{x} = 10$ - Error: $E = 11 - 10 = 1$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $99\%$: $$1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.005$$ Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.9950$. El valor correspondiente es **$z_{\alpha/2} = 2.575$**. Sabiendo que $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, despejamos el error estándar (o la desviación típica poblacional $\sigma$): $$1 = 2.575 \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{49}} \implies 1 = 2.575 \cdot \frac{\sigma}{7}$$ $$\sigma = \frac{7}{2.575} \approx 2.7184$$

**b) ¿Cuál sería el correspondiente intervalo de confianza al 95%?** Calculamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del $95\%$: $$1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha = 0.05 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.025$$ Buscamos en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.025 = 0.9750$, lo que nos da **$z_{\alpha/2} = 1.96$**. Calculamos el nuevo error $E'$: $$E' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1.96 \cdot \frac{2.7184}{7} = 1.96 \cdot 0.3883 \approx 0.761$$ El nuevo intervalo es: $$IC = [\bar{x} - E', \bar{x} + E'] = [10 - 0.761, 10 + 0.761] = [9.239, 10.761]$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC_{95\%} = [9.239, 10.761]}$$

**c) Si se reduce a la mitad la amplitud del intervalo (es decir, $[9.5, 10.5]$ ), ¿qué nivel de confianza tendremos en este intervalo?** En el nuevo intervalo $[9.5, 10.5]$, el error es $E'' = 10.5 - 10 = 0.5$. Usamos la fórmula del error para encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ asociado: $$E'' = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies 0.5 = z_{\alpha/2} \cdot \frac{2.7184}{7}$$ $$0.5 = z_{\alpha/2} \cdot 0.3883 \implies z_{\alpha/2} = \frac{0.5}{0.3883} \approx 1.287$$ Ahora, buscamos en la tabla de la normal la probabilidad asociada a $z = 1.287$. Interpolando entre $1.28$ y $1.29$: $$P(Z \le 1.28) = 0.8997$$ $$P(Z \le 1.29) = 0.9015$$ Para $1.287$, tomamos aproximadamente $P(Z \le 1.287) \approx 0.9010$. El nivel de confianza $1-\alpha$ se calcula como: $$1 - \alpha = 2 \cdot P(Z \le z_{\alpha/2}) - 1 = 2 \cdot 0.9010 - 1 = 0.802$$ Expresado en porcentaje, el nivel de confianza es del $80.2\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Nivel de confianza } \approx 80.2\%}$$