Estudio de una función de costes definida a trozos

**a) Determinar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, debemos calcular la derivada de la función $c(t)$ en cada uno de sus tramos. Para la primera rama, $0 \le t < 2$: $$c'(t) = (t^2 + 2)' = 2t$$ Como el tiempo $t$ está en el intervalo $(0, 2)$, $2t$ siempre será positivo ($c'(t) \gt 0$), por lo que la función es **creciente** en este tramo. Para la segunda rama, $t > 2$, usamos la regla de la derivada del cociente: $$c'(t) = \left( \frac{t+4}{t-1} \right)' = \frac{1 \cdot (t-1) - (t+4) \cdot 1}{(t-1)^2} = \frac{t - 1 - t - 4}{(t-1)^2} = \frac{-5}{(t-1)^2}$$ En este tramo $t > 2$, el denominador $(t-1)^2$ siempre es positivo y el numerador es $-5$ (negativo). Por tanto, $c'(t) \lt 0$ para todo $t > 2$, lo que significa que la función es **decreciente**. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,2) & 2 & (2,+\infty)\\\hline c'(t) & + & \nexists & - \\ \hline c(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ La función es **creciente** en el intervalo $(0, 2)$ y **decreciente** en el intervalo $(2, +\infty)$.

**b) ¿Cuándo los costos son máximos? ¿Cuál es el valor máximo del costo?** Basándonos en el análisis de la monotonía del apartado anterior, observamos que la función crece hasta $t=2$ y comienza a decrecer a partir de ese punto. Por tanto, el máximo absoluto se alcanza en **$t = 2$ años**. Calculamos el valor del costo en ese instante sustituyendo en la primera rama (ya que incluye el igual): $$c(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$$ Como el enunciado indica que los costos están expresados en cientos de miles de euros, el valor real es: $$6 \times 100.000 = 600.000 \text{ euros}$$ 💡 **Tip:** Siempre verifica la continuidad en el punto de salto para asegurar que el valor es coherente. En este caso: $$\lim_{t \to 2^-} (t^2+2) = 6 \quad \text{y} \quad \lim_{t \to 2^+} \frac{t+4}{t-1} = \frac{6}{1} = 6$$ Al coincidir los límites y el valor de la función, esta es continua. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo a los 2 años con un valor de 600.000 €}}$$

**c) ¿Cuál es el costo cuando transcurren los años indefinidamente?** Que los años transcurran indefinidamente significa que debemos calcular el límite de la función cuando $t$ tiende a infinito ($t \to +\infty$). Para ello, usamos la segunda rama de la función: $$\lim_{t \to +\infty} c(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{t+4}{t-1}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado (grado 1), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{t \to +\infty} \frac{t+4}{t-1} = \frac{1}{1} = 1$$ Esto significa que el costo tiende a **1 cien mil euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{100.000 \text{ euros}}$$