Optimización de inversión en invernadero mediante programación lineal

**Calcular cuánto debe invertir en cada cultivo para que el beneficio sea máximo. Plantear el correspondiente problema y calcular dicho beneficio.** En primer lugar, definimos las variables de decisión que representan las cantidades invertidas en cada tipo de cultivo: - $x$: Cantidad invertida en tomates (en euros). - $y$: Cantidad invertida en flores (en euros). El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, la rentabilidad de los tomates es del $14\%$ y la de las flores del $20\%$. Expresamos estas rentabilidades en forma decimal ($0,14$ y $0,20$) para construir la **función objetivo** $B(x, y)$: $$B(x, y) = 0,14x + 0,20y$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el beneficio a partir de un porcentaje, multiplicamos la cantidad invertida por dicho porcentaje dividido entre 100 (ej: $14\% = 14/100 = 0,14$).

A continuación, traducimos las condiciones del enunciado en un sistema de inecuaciones lineales: 1. **Presupuesto total:** El agricultor dispone de un máximo de $10000$ €. $$x + y \le 10000$$ 2. **Inversión en flores:** Como mucho $6000$ €. $$y \le 6000$$ 3. **Inversión en tomates:** Como mínimo $2000$ €. $$x \ge 2000$$ 4. **Relación entre cultivos:** Lo invertido en flores debe ser por lo menos lo invertido en tomates. $$y \ge x$$ 5. **No negatividad:** Las inversiones no pueden ser negativas (aunque $x \ge 2000$ ya lo implica, es buena práctica anotarlo). $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda: $$\begin{cases} x + y \le 10000 \\ y \le 6000 \\ x \ge 2000 \\ y \ge x \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La expresión "como mucho" se traduce por $\le$ y la expresión "por lo menos" o "como mínimo" por $\ge$.

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las inecuaciones para encontrar el área común que cumple todas las condiciones (la región factible). - $r_1: x + y = 10000$ (puntos de corte: $(0, 10000)$ y $(10000, 0)$) - $r_2: y = 6000$ (recta horizontal) - $r_3: x = 2000$ (recta vertical) - $r_4: y = x$ (bisectriz del primer cuadrante) La intersección de estos semiplanos genera un recinto cerrado o región factible.

Los vértices se calculan resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan: - **Vértice A:** Intersección de $x = 2000$ y $y = x$. $$x = 2000, \, y = 2000 \implies \mathbf{A(2000, 2000)}$$ - **Vértice B:** Intersección de $x = 2000$ y $y = 6000$. $$x = 2000, \, y = 6000 \implies \mathbf{B(2000, 6000)}$$ - **Vértice C:** Intersección de $y = 6000$ y $x + y = 10000$. $$x + 6000 = 10000 \implies x = 4000 \implies \mathbf{C(4000, 6000)}$$ - **Vértice D:** Intersección de $y = x$ y $x + y = 10000$. $$x + x = 10000 \implies 2x = 10000 \implies x = 5000 \implies \mathbf{D(5000, 5000)}$$ 💡 **Tip:** En programación lineal, el máximo o mínimo de la función objetivo siempre se encuentra en uno de los vértices (o en un segmento que los une).

Evaluamos $B(x, y) = 0,14x + 0,20y$ en cada uno de los vértices hallados: $$\begin{array}{l|l} \text{Vértice } (x, y) & B(x, y) = 0,14x + 0,20y \\\hline A(2000, 2000) & 0,14(2000) + 0,20(2000) = 280 + 400 = 680\text{ €} \\ B(2000, 6000) & 0,14(2000) + 0,20(6000) = 280 + 1200 = 1480\text{ €} \\ C(4000, 6000) & 0,14(4000) + 0,20(6000) = 560 + 1200 = 1760\text{ €} \\ D(5000, 5000) & 0,14(5000) + 0,20(5000) = 700 + 1000 = 1700\text{ €} \end{array}$$ El valor máximo se obtiene en el punto $C(4000, 6000)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Inversión en tomates: } 4000\text{ €} \\ \text{Inversión en flores: } 6000\text{ €} \\ \text{Beneficio máximo: } 1760\text{ €} \end{matrix}}$$