Contraste de hipótesis para la proporción

**a) ¿Se puede aceptar tal afirmación con un nivel de significación del 3%?** Primero, identificamos los datos del problema y definimos las hipótesis del contraste. La afirmación dice que el porcentaje es "como máximo" del 20%, lo que nos indica un contraste unilateral a la derecha. * Proporción bajo estudio ($p$): Proporción de personas mayores de 65 años dependientes. * Proporción propuesta ($p_0$): $20\% = 0,20$. * Tamaño de la muestra ($n$): $225$. * Casos a favor en la muestra ($x$): $54$. * Proporción muestral ($\hat{p}$): $\hat{p} = \dfrac{54}{225} = 0,24$. Las hipótesis son: $$H_0: p \le 0,20 \text{ (La afirmación es cierta)}$$ $$H_1: p \gt 0,20 \text{ (La proporción es mayor al 20%)}$$ 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) suele contener el signo de igualdad o la afirmación que se desea verificar (en este caso, que no supera el 20%).

Para decidir si aceptamos o rechazamos $H_0$, calculamos el valor del estadístico $Z_{obs}$, que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$ si $H_0$ es cierta: $$Z_{obs} = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}$$ Sustituimos los valores: * $p_0 = 0,20$ * $q_0 = 1 - 0,20 = 0,80$ * $n = 225$ * $\hat{p} = 0,24$ $$Z_{obs} = \frac{0,24 - 0,20}{\sqrt{\dfrac{0,20 \cdot 0,80}{225}}} = \frac{0,04}{\sqrt{\dfrac{0,16}{225}}} = \frac{0,04}{\dfrac{0,4}{15}} = \frac{0,04 \cdot 15}{0,4} = 1,5$$ 💡 **Tip:** El denominador representa la desviación típica de la proporción muestral. Es fundamental realizar el cálculo con cuidado, especialmente con las raíces cuadradas.

Para $\alpha = 0,03$ (3%), buscamos el valor crítico $Z_{\alpha}$ en una distribución unilateral derecha. Esto significa que buscamos el valor que deja un área de $0,03$ a su derecha (y $0,97$ a su izquierda). $$P(Z \le Z_{0,03}) = 1 - 0,03 = 0,97$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$: $$Z_{0,03} \approx 1,88$$ La **región de aceptación** es el intervalo $(-\infty, 1,88]$. Como nuestro valor observado $Z_{obs} = 1,5$ es menor que el valor crítico $1,88$: $$1,5 \lt 1,88 \implies \text{No se rechaza } H_0$$ Con un nivel de significación del 3%, los datos no proporcionan evidencia suficiente para rechazar la afirmación de los responsables. ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{\text{Sí, se puede aceptar la afirmación con un nivel de significación del 3%}}$$

**b) ¿Y con un nivel de significación del 10%?** Repetimos el proceso para $\alpha = 0,10$. Ahora buscamos el valor crítico $Z_{0,10}$ que deja un área de $0,90$ a su izquierda. $$P(Z \le Z_{0,10}) = 1 - 0,10 = 0,90$$ Buscando en la tabla de la Normal: $$Z_{0,10} \approx 1,28$$ La **región de aceptación** en este caso es $(-\infty, 1,28]$. Comparamos nuestro estadístico calculado anteriormente ($Z_{obs} = 1,5$) con el nuevo valor crítico: $$1,5 \gt 1,28 \implies \text{Se rechaza } H_0$$ Como el valor observado cae en la región de rechazo (a la derecha de 1,28), debemos rechazar la hipótesis nula. 💡 **Tip:** Al aumentar el nivel de significación $\alpha$ (del 3% al 10%), la región de aceptación se hace más pequeña, por lo que es "más fácil" rechazar la hipótesis nula. ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{No, con un nivel de significación del 10\% se debe rechazar la afirmación}}$$